1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

（1）棱柱、棱錐、棱臺(tái)和多面體

棱柱是由滿足下列三個(gè)條件的面圍成的幾何體：①有兩個(gè)面互相平行；②其余各面都是四邊形；③每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行；棱柱按底面邊數(shù)可分為：三棱柱、四棱柱、五棱柱等．棱柱性質(zhì)：①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等； ②棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.

③過(guò)棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.

棱錐是由一個(gè)底面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形所圍成的幾何體．棱錐具有以下性質(zhì)：①底面是多邊形；②側(cè)面是以棱錐的頂點(diǎn)為公共點(diǎn)的三角形；③平行于底面的截面和底面是相似多邊形，相似比等于從頂點(diǎn)到截面和從頂點(diǎn)到底面距離的比．截面面積和底面面積的比等于上述相似比的平方．

棱臺(tái)是棱錐被平行于底面的一個(gè)平面所截后，截面和底面之間的部分．由棱臺(tái)定義可知，所有側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，繼而將棱臺(tái)還原成棱錐．

多面體是由若干個(gè)多邊形圍成的幾何體．多面體有幾個(gè)面就稱為幾面體，如三棱錐是四面體．

　�。�2）圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球

　　分別以矩形的一邊，直角三角形的一直角邊，直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線，半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體叫做圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球

圓柱、圓錐和圓臺(tái)的性質(zhì)主要有：①平行于底面的截面都是圓；②過(guò)軸的截面（軸截面）分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；③圓臺(tái)的上底變大到與下底相同時(shí)，可以得到圓柱；圓臺(tái)的上底變小為一點(diǎn)時(shí)，可以得到圓錐．

2、空間幾何體的側(cè)面積、表面積

　�。�1）棱柱側(cè)面展開圖的面積就是棱柱的側(cè)面積，棱柱的表面積就是它的側(cè)面積與兩底面面積的和．

　　因?yàn)橹崩庵�的各個(gè)側(cè)面都是等高的矩形，所以它的展開圖是以棱柱的底面周長(zhǎng)與高分別為長(zhǎng)和寬的矩形．如果設(shè)直棱柱底面周長(zhǎng)為，高為，則側(cè)面積．

　　若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是a、b、c，則其表面積．

　�。�2）圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形．矩形的寬是圓柱母線的長(zhǎng)，矩形的長(zhǎng)為圓柱底面周長(zhǎng)．如果設(shè)圓柱母線的長(zhǎng)為，底面半徑為r，那么圓柱的側(cè)面積，此時(shí)圓柱底面面積.所以圓柱的表面積．

　�。�3）圓錐的側(cè)面展開圖是以其母線為半徑的扇形．如果設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長(zhǎng)為，則側(cè)面積，那么圓錐的表面積是由其側(cè)面積與底面面積的和構(gòu)成，即為．

　�。�4）正棱錐的側(cè)面展開圖是個(gè)全等的等腰三角形．如果正棱錐的周長(zhǎng)為，斜高為，則它的側(cè)面積．

　　（5）正棱臺(tái)的側(cè)面積就是它各個(gè)側(cè)面積的和．如果設(shè)正棱臺(tái)的上、下底面的周長(zhǎng)是，斜高是，那么它的側(cè)面積是．

　　（6）圓臺(tái)側(cè)面展開圖是以截得該圓臺(tái)的圓錐母線為大圓半徑，圓錐與圓臺(tái)的母線之差為小圓半徑的一個(gè)扇環(huán)．如果設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，母線長(zhǎng)為，那么它的側(cè)面積是．

圓臺(tái)的表面積等于它的側(cè)面積與上、下底面積的和，

即．

　�。�7）球的表面積，即球的表面積等于其大圓面積的四倍．

3、空間幾何體的體積

　�。�1）柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積和高的積，即．其中底面半徑是，高是的圓柱的體積是．

　�。�2）如果一個(gè)錐體（棱錐、圓錐）的底面積是，高是，那么它的體積是．其中底面半徑是，高是的圓錐的體積是，就是說(shuō)，錐體的體積是與其同底等高柱體體積的．

　　（3）如果臺(tái)體（棱臺(tái)、圓臺(tái)）的上、下底面積分別是，高是，那么它的體積是．其中上、下底半徑分別是，高是的圓臺(tái)的體積是．（4）球的體積公式：.

4、中心投影和平行投影

（1）中心投影：投射線均通過(guò)投影中心的投影。

（2）平行投影：投射線相互平行的投影。（3）三視圖的位置關(guān)系與投影規(guī)律

三視圖的位置關(guān)系為：俯視圖在主視圖的下方、左視圖在主視圖的右方．

三視圖之間的投影規(guī)律為：

主、俯視圖―――長(zhǎng)對(duì)正；主、左視圖―――高平齊；俯、左視圖―――寬相等．

5、直觀圖畫法

斜二測(cè)畫法的規(guī)則：

（1）在空間圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于O點(diǎn)，再取z軸，使90°，且90°．

　�。�2）畫直觀圖時(shí)把它們畫成對(duì)應(yīng)的軸、軸和軸，它們相交于，并使45°， 90°。

　�。�3）已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸、軸和軸的線段．

　�。�4）已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度相等；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度取一半．

　　6．平面

（1）對(duì)平面的理解

平面是一個(gè)不加定義、只須理解的最基本的原始概念．

立體幾何中的平面是理想的、絕對(duì)平且無(wú)限延展的模型，平面是無(wú)大小、厚薄之分的．類似于我們以前學(xué)的直線，它可以無(wú)限延伸，它是不可度量的．

（2）對(duì)公理的剖析

（1）公理1的內(nèi)容反映了直線與平面的位置關(guān)系，公理1的條件“線上不重合的兩點(diǎn)在平面內(nèi)”是公理的必要條件，結(jié)論是“線上所有點(diǎn)都在面內(nèi)”．這個(gè)結(jié)論闡述了兩個(gè)觀點(diǎn)：一是整條直線在平面內(nèi)；二是直線上所有點(diǎn)在平面內(nèi)．

其作用是：可判定直線是否在平面內(nèi)、點(diǎn)是否在平面內(nèi)．

（2）公理2中的“有且只有一個(gè)”的含義要準(zhǔn)確理解．這里的“有”是說(shuō)圖形存在，“只有一個(gè)”是說(shuō)圖形唯一，確定一個(gè)平面中的“確定”是“有且只有”的同義詞，也是指存在性和唯一性這兩方面．這個(gè)術(shù)語(yǔ)今后也會(huì)常常出現(xiàn)，要理解好．

其作用是：一是確定平面；二是證明點(diǎn)、線共面．

（3）公理3的內(nèi)容反映了平面與平面的位置關(guān)系,它的條件簡(jiǎn)而言之是“兩面共一點(diǎn)”，結(jié)論是“兩面共一線，且過(guò)這一點(diǎn)，線唯一”．對(duì)于本公理應(yīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)于不重合的兩個(gè)平面，只要它們有公共點(diǎn)，它們就是相交的位置關(guān)系，交集是一條直線．

其作用是：其一它是判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)，只要兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，就可以判定這兩個(gè)平面必相交于過(guò)這點(diǎn)的一條直線；其二它可以判定點(diǎn)在直線上，點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，線是這兩個(gè)平面的公共交線，則這點(diǎn)在交線上．

7. 空間直線.

（1）空間直線位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線―共面有且有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線―共面沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線―不同在任一平面內(nèi)。

（2）異面直線判定定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）

（3）平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

（4）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等

    推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.

8. 直線與平面平行、直線與平面垂直.

（1）空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).

（2）直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.（“線線平行，線面平行”）

（3）直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）

（4）直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直.

直線與平面垂直判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直。

推論：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.

9. 平面平行與平面垂直.

（1）空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.

（2）平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，哪么這兩個(gè)平面平行.（“線面平行，面面平行”）

推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.

（3）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）

（4）兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.

兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.（“線面垂直，面面垂直”）

（5）兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.

10. 空間向量.

（1）a.共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.

（2）空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使.

推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使 (這里隱含x+y+z≠1).

（3）a.空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對(duì)應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)）.

①令=(a1,a2,a3),，則

，， ，

∥ 。

。    

(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：

)

空間兩個(gè)向量的夾角公式

（a＝，b＝）。

②空間兩點(diǎn)的距離公式：.

b.法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量.

c.用向量的常用方法：

①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)B到平面的距離為.

②.異面直線間的距離 (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).

③.點(diǎn)到平面的距離 （為平面的法向量，是經(jīng)過(guò)面的一條斜線，）.

④直線與平面所成角(為平面的法向量).

⑤利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大�。�方向相同，則為補(bǔ)角，反方，則為其夾角）.

二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.

二、考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、直觀圖

【內(nèi)容解讀】了解柱、錐、臺(tái)、球體及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中的簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)。能畫出簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖。能用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖與直觀圖。了解空間幾何體的不同表示形式。會(huì)畫某建筑物的視圖與直觀圖。

空間幾何體的結(jié)構(gòu)與視圖主要培養(yǎng)觀察能力、歸納能力和空間想象能力，能通過(guò)觀察幾何體的模型和實(shí)物，總結(jié)出柱、錐、臺(tái)、球等幾何體的結(jié)構(gòu)特征；能識(shí)別三視圖所表示的空間幾何體，會(huì)用材料制作模型，培養(yǎng)動(dòng)手能力。

【命題規(guī)律】柱、錐、臺(tái)、球體及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征在舊教材中出現(xiàn)過(guò)，而三視圖為新增內(nèi)容，一般情況下，新增內(nèi)容會(huì)重點(diǎn)考查，從2007年、2008年廣東、山東、海南的高考題來(lái)看，三視圖是出題的熱點(diǎn)，題型多以選擇題、填空題為主，也有出現(xiàn)在解答題里，如2007年廣東高考就出現(xiàn)在解答題里，屬中等偏易題。

例１、（2008廣東）將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖1所示分別是三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（    ）

解：在圖2的右邊放扇墻(心中有墻),可得答案A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三視圖中的左視圖，要有一定的空間想象能力。

例2、（2008江蘇模擬）由大小相同的正方體木塊堆成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中正方體木塊的個(gè)數(shù)是          ．

解：以俯視圖為主，因?yàn)橹饕晥D左邊有兩層，表示俯視圖中左邊最多有兩個(gè)木塊，再看左視圖，可得木塊數(shù)如右圖所示，因此這個(gè)幾何體的正方體木塊數(shù)的個(gè)數(shù)為5個(gè)。

點(diǎn)評(píng)：從三視圖到確定幾何體，應(yīng)根據(jù)主視圖和俯視圖情況分析，再結(jié)合左視圖的情況定出幾何體，最后便可得出這個(gè)立體體組合的小正方體個(gè)數(shù)。

考點(diǎn)二：空間幾何體的表面積和體積

【內(nèi)容解讀】理解柱、錐、臺(tái)的側(cè)面積、表面積、體積的計(jì)算方法，了解它們的側(cè)面展開圖，及其對(duì)計(jì)算側(cè)面積的作用，會(huì)根據(jù)條件計(jì)算表面積和體積。理解球的表面積和體積的計(jì)算方法。

把握平面圖形與立體圖形間的相互轉(zhuǎn)化方法，并能綜合運(yùn)用立體幾何中所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題。

【命題規(guī)律】柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積以公式為主，按照新課標(biāo)的要求，體積公式不要求記憶，只要掌握表面積的計(jì)算方法和體積的計(jì)算方法即可。因此，題目從難度上講屬于中檔偏易題。

例3、（2007廣東）已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖(或稱主

視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視

圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形．

  (1)求該幾何體的體積V；

  (2)求該幾何體的側(cè)面積S

解: 由已知可得該幾何體是一個(gè)底面為矩形,高為4,頂點(diǎn)在底面的射影是矩形中心的四棱錐V-ABCD。

(1)

(2) 該四棱錐有兩個(gè)側(cè)面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC邊上的高為

    ,  另兩個(gè)側(cè)面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,

AB邊上的高為  

因此  

點(diǎn)評(píng)：在課改地區(qū)的高考題中，求幾何體的表面積與體積的問(wèn)題經(jīng)常與三視圖的知識(shí)結(jié)合在一起，綜合考查。

例4、（2008山東）右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（    ）

A．          B．       

C．         D．

解：從三視圖可以看出該幾何體是由一個(gè)球和一個(gè)圓柱組合而成的簡(jiǎn)單幾何體，

其表面及為：

，故選D。

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三視圖與幾何體的表面積。既要能識(shí)別簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，又要掌握基本幾何體的表面積的計(jì)算方法。

例5、（湖北卷3）用與球心距離為的平面去截球，所得的截面面積為，則球的體積為（　�。�

A.           B.           C.           D.

解：截面面積為截面圓半徑為1，又與球心距離為球的半徑是，

所以根據(jù)球的體積公式知，故B為正確答案． 

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的一些相關(guān)概念，球的體積公式的運(yùn)用。

考點(diǎn)三：點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

【內(nèi)容解讀】理解空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，了解四個(gè)公理及其推論；空間兩直線的三種位置關(guān)系及其判定；異面直線的定義及其所成角的求法。

通過(guò)大量圖形的觀察、實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)平面圖形到立體圖形的飛躍，培養(yǎng)空間想象能力。會(huì)用平面的基本性質(zhì)證明共點(diǎn)、共線、共面的問(wèn)題。

【命題規(guī)律】主要考查平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系，多以選擇題、填空題為主，難度不大。

例6、如圖1，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且＝＝，則（　�。�

（A）EF與GH互相平行

（B）EF與GH異面

（C）EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上

（D）EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上

解：依題意，可得EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，故EH∥FG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因?yàn)镋H＝BD，＝，故EH≠FG，所以，EFGH是梯形，EF與GH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M，因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上，故點(diǎn)M在平面ACB上，同理，點(diǎn)M在平面ACD上，即點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的交點(diǎn)，而AC是這兩個(gè)平面的交線，由公理3可知，點(diǎn)M一定在平面ACB與平面ACD的交線AC上。

選（D）。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查公理2和公理3的應(yīng)用，證明共線問(wèn)題。利用四個(gè)公理來(lái)證明共點(diǎn)、共線的問(wèn)題是立體幾何中的一個(gè)難點(diǎn)。

例7、（2008全國(guó)二10）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，則所成的角的余弦值為（  　 ）

A．           B．        C．         D．

解：連接AC、BD交于O，連接OE，因OE∥SD.所以∠AEO為異面直線SD與AE所成的角。設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都等于2，則在ㄓAEO中，OE＝1,AO＝，AE=，

于是，故選C。

點(diǎn)評(píng)：求異面直線所成的角，一般是平移異面直線中的一條與另一條相交構(gòu)成三角形，再用三角函數(shù)的方法或正、余弦定理求解。

考點(diǎn)四：直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)

【內(nèi)容解讀】掌握直線與平面平行、平面與平面平行的判定與性質(zhì)定理，能用判定定理證明線面平行、面面平行，會(huì)用性質(zhì)定理解決線面平行、面面平行的問(wèn)題。

通過(guò)線面平行、面面平行的證明，培養(yǎng)學(xué)生空間觀念及及觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、探索、合情推理的能力。

【命題規(guī)律】主要考查線線、面面平行的判定與性質(zhì)，多以選擇題和解答題形式出現(xiàn)，解答題中多以證明線面平行、面面平行為主，屬中檔題。

例8、（2008安徽）如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)

（Ⅰ）證明：直線；

（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大�。�

（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。

例9、（2008江蘇模擬）一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，G是DF上的一動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：

（2）當(dāng)FG=GD時(shí)，在棱AD上確定一點(diǎn)P，使得GP//平面FMC,并給出證明.

考點(diǎn)五：直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

【內(nèi)容解讀】掌握直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)定理，能用判定定理證明線線垂直、線面垂直、面面垂直，會(huì)用性質(zhì)定理解決線面垂直、面面垂直的問(wèn)題。

通過(guò)線面垂直、面面垂直的證明，培養(yǎng)學(xué)生空間觀念及及觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、探索、合情推理的能力。

【命題規(guī)律】主要考查線線、面面垂直的判定與性質(zhì)，多以選擇題和解答題形式出現(xiàn)，解答題中多以證明線線垂直、線面垂直、面面垂直為主，屬中檔題。

例10、（2008廣東五校聯(lián)考）正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中O為正方形ABCD的中心，M為BB₁的中點(diǎn)，求證：

   （1）D₁O//平面A₁BC₁;

（2）D₁O⊥平面MAC.

例11、（2008廣東中山模擬）如圖，四棱錐P―ABCD中， PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E為PC中點(diǎn)．

   (I) 求證：平面PDC平面PAD；

   (II) 求證：BE//平面PAD．

例12、（2008廣東深圳模擬）如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，是上一點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；

（2）設(shè)，，求點(diǎn)到平面的距離；

考點(diǎn)六：空間向量(理科)

【內(nèi)容解讀】用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”

　�。�1）用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，從而把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題（幾何問(wèn)題向量化）；

　�。�2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾我有等問(wèn)題（進(jìn)行向量運(yùn)算）；

　�。�3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義（回歸幾何問(wèn)題）．

【命題規(guī)律】空間向量的問(wèn)題一般出現(xiàn)在立體幾何的解答題中，難度為中等偏難．

例１３、如圖1，直三棱柱中，，

，棱分別是的中點(diǎn)．

求的長(zhǎng)；

求的值．

例１４、如圖2，在四棱錐，底面為矩形，底面，是上一點(diǎn)，．已知．求：

異面直線與的距離；

二面角的大�。�

例１５、　如圖，已知正三棱柱，是的中點(diǎn)，求證：平面．

（一）方法總結(jié)

1．位置關(guān)系：

（1）兩條異面直線相互垂直

 證明方法：①證明兩條異面直線所成角為90º；②證明線面垂直，得到線線垂直；③證明兩條異面直線的方向量相互垂直。

（2）直線和平面相互平行

證明方法：①證明直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線相互平行；②證明這條直線的方向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量相互平行；③證明這條直線的方向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直。

（3）直線和平面垂直

證明方法：①證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，②證明直線的方向量與這個(gè)平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量都垂直；③證明直線的方向量與這個(gè)平面的法向量相互平行。

（4）平面和平面相互垂直

證明方法：①證明這兩個(gè)平面所成二面角的平面角為90º；②證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個(gè)平面；③證明兩個(gè)平面的法向量相互垂直。

2．求距離：

求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離和兩個(gè)平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。

（1）兩條異面直線的距離

求法：利用公式法。

（2）點(diǎn)到平面的距離

求法：①“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來(lái)。②等體積法。③向量法。

3．求角

（1）兩條異面直線所成的角

求法：①先通過(guò)其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過(guò)解三角形去求得；②通過(guò)兩條異面直線的方向量所成的角來(lái)求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是，向量所成的角范圍是，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。

（2）直線和平面所成的角

求法：①“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來(lái)。②向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角為或。

（3）平面與平面所成的角

求法：①“一找二證三求”，找出這個(gè)二面角的平面角，然后再來(lái)證明我們找出來(lái)的這個(gè)角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過(guò)解三角形來(lái)求。②向量法，先求兩個(gè)平面的法向量所成的角為α，那么這兩個(gè)平面所成的二面角的平面角為α或π－α。

（二）2009年高考預(yù)測(cè)

從近幾年各地高考試題分析，立體幾何題型一般是一個(gè)解答題，1至3個(gè)填空或選擇題．解答題一般與棱柱和棱錐相關(guān)，主要考查線線關(guān)系、線面關(guān)系和面面關(guān)系，其重點(diǎn)是考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力，其解題方法一般都有二種以上，并且一般都能用空間向量來(lái)求解． 高考試題中，立體幾何側(cè)重考查學(xué)生的空間概念、邏輯思維能力、空間想象能力及運(yùn)算能力 . 近幾年凡涉及空間向量應(yīng)用于立體幾何的高考試題，都著重考查應(yīng)用空間向量求異面直線所成的角、二面角，證明線線平行、線面平行和證明異面直線垂直和線面垂直等基本問(wèn)題。

高考對(duì)立體幾何的考查側(cè)重以下幾個(gè)方面：

    1．從命題形式來(lái)看，涉及立體幾何內(nèi)容的命題形式最為多變 . 除保留傳統(tǒng)的“四選一”的選擇題型外，還嘗試開發(fā)了“多選填空”、“完型填空”、“構(gòu)造填空”等題型，并且這種命題形式正在不斷完善和翻新；解答題則設(shè)計(jì)成幾個(gè)小問(wèn)題，此類考題往往以多面體為依托，第一小問(wèn)考查線線、線面、面面的位置關(guān)系，后面幾問(wèn)考查空間角、空間距離、面積、體積等度量關(guān)系，其解題思路也都是“作――證――求”，強(qiáng)調(diào)作圖、證明和計(jì)算相結(jié)合。

2．從內(nèi)容上來(lái)看，主要是：①考查直線和平面的各種位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，這類試題一般難度不大，多為選擇題和填空題；②計(jì)算角的問(wèn)題，試題中常見的是異面直線所成的角，直線與平面所成的角，平面與平面所成的二面角，這類試題有一定的難度和需要一定的解題技巧，通常要把它們轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；③求距離，試題中常見的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到平面的距離，直線與直線的距離，直線到平面的距離，要特別注意解決此類問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法；④簡(jiǎn)單的幾何體的側(cè)面積和表面積問(wèn)題，解此類問(wèn)題除特殊幾何體的現(xiàn)成的公式外，還可將側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化為求平面圖形的面積問(wèn)題；⑤體積問(wèn)題，要注意解題技巧，如等積變換、割補(bǔ)思想的應(yīng)用。⑥三視圖，辨認(rèn)空間幾何體的三視圖，三視圖與表面積、體積內(nèi)容相結(jié)合。

3．從能力上來(lái)看，著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會(huì)”：①會(huì)畫圖――根據(jù)題設(shè)條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀、虛實(shí)分明；②會(huì)識(shí)圖――根據(jù)題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關(guān)線面的位置關(guān)系；③會(huì)析圖――對(duì)圖形進(jìn)行必要的分解、組合；④會(huì)用圖――對(duì)圖形或其某部分進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開或?qū)嵭懈钛a(bǔ)術(shù)；考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力和探索能力。

五、復(fù)習(xí)建議

1、三視圖是新課標(biāo)新增的內(nèi)容，2007、2008年課改區(qū)的高考題都有體現(xiàn)，因此，三視圖的內(nèi)容應(yīng)重點(diǎn)訓(xùn)練。

2．證明空間線面平行與垂直，是必考題型，解題時(shí)要由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證明思路.

3．空間圖形中的角與距離，先根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過(guò)解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機(jī)統(tǒng)一.解題時(shí)注意各種角的范圍.異面直線所成角的范圍是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和補(bǔ)形法；直線與平面所成角的范圍是0°≤θ≤90°，其解法是作垂線、找射影；二面角0°≤θ≤180°。

4．與幾何體的側(cè)面積和體積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，根據(jù)基本概念和公式來(lái)計(jì)算，要重視方程的思想和割補(bǔ)法、等積轉(zhuǎn)換法的運(yùn)用

5．平面圖形的翻折與空間圖形的展開問(wèn)題，要對(duì)照翻折（或展開）前后兩個(gè)圖形，分清哪些元素的位置（或數(shù)量）關(guān)系改變了，哪些沒(méi)有改變.

例題8

方法一：（1）證明：取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE

又

  （2）

       為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）

       作連接

       ，

       所以 與所成角的大小為

       （3）點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP,過(guò)點(diǎn)A作

 于點(diǎn)Q，

       又 ,線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離

       ，

       ，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為

方法二(向量法)

作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系

,

(1)

設(shè)平面OCD的法向量為,則

即

取,解得

(2)設(shè)與所成的角為,

   , 與所成角的大小為

(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的交流為,則為在向量上的投影的絕對(duì)值,

       由 , 得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為

點(diǎn)評(píng)：線面平行的證明、異面直線所成的角，點(diǎn)到直線的距離，既可以用綜合方法求解，也可以用向量方法求解，后者較簡(jiǎn)便，但新課標(biāo)地區(qū)文科沒(méi)學(xué)空間向量。

例題9

證明：由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC

   (1)連接DB，可知B、N、D共線，且AC⊥DN

     又FD⊥AD  FD⊥CD，

FD⊥面ABCD

FD⊥AC

     AC⊥面FDN 

     GN⊥AC

  （2）點(diǎn)P在A點(diǎn)處

證明：取DC中點(diǎn)S，連接AS、GS、GA

     G是DF的中點(diǎn)，GS//FC,AS//CM

     面GSA//面FMC

      GA//面FMC   即GP//面FMC

點(diǎn)評(píng)：證明線面平行，在平面內(nèi)找一條直線與平面外的直線平行，是證明線面平行的關(guān)鍵。

例題10.

證明: (1)連結(jié)分別交于

    在正方體中,對(duì)角面為矩形

分別是的中點(diǎn)

四邊形為平行四邊形

平面,平面平面

（2）連結(jié),設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為,

   在正方體中,對(duì)角面為矩形且 

 分別是的中點(diǎn)

  在中，  ，即

在正方體中

  平面 

  又，  平面

  平面 

 又 平面

點(diǎn)評(píng)：證明線面垂直，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條相交直線與已知直線垂直，由線線垂直推出線面垂直，證明線線垂直有時(shí)要用勾股定理的逆定理．

例題11

證明：（1）由PA平面ABCD

        平面PDC平面PAD；

（2）取PD中點(diǎn)為F，連結(jié)EF、AF，由E為PC中點(diǎn)，

得EF為△PDC的中位線，則EF//CD，CD=2EF．

又CD=2AB，則EF=AB．由AB//CD，則EF∥AB．

所以四邊形ABEF為平行四邊形，則EF//AF．

    由AF面PAD，則EF//面PAD．

點(diǎn)評(píng)：證明面面垂直，先證明線面垂直，要證線面垂直，先證明線線垂直．

例題12.

(1)證明：底面  

且   

平面平面

(2)解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/b317484b098cc5416435f6af4383c45e.zip/71257/廣東梅縣華僑中學(xué)2009屆高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)教案立體幾何.files/image563.gif" >，且，

      可求得點(diǎn)到平面的距離為

點(diǎn)評(píng)：求點(diǎn)到面的距離，經(jīng)常采用等體積法，利用同一個(gè)幾何體，體積相等，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．

例題13. 解：如圖1，建立空間直角坐標(biāo)系．

（1）依題意，

得，．

（2）依題意，得，

．

．

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間向量的概念及坐標(biāo)運(yùn)算的基本知識(shí)，考查了空間兩向量的夾角、長(zhǎng)度的計(jì)算公式．解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)亟�立空間直角坐標(biāo)系和準(zhǔn)確地表示點(diǎn)的坐標(biāo)

例題14. 解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

并設(shè)，則．

　�。�1），，解得．

　　，即，

　　又，故是異面直線與的公垂線．

　　而，即異面直線與的距離為1．

　�。�2）作，并設(shè)，

　　，且，

　　則，可取．

　　再作于，并設(shè)，

　　，且，則，

　　又取．

　　由，，可知與的夾角就是所求二面角的大小，

　　，即所求二面角為．

點(diǎn)評(píng)：向量法求二面角是一種獨(dú)特的方法，因?yàn)樗�不但是傳統(tǒng)方法的有力補(bǔ)充，而且還可以另辟溪徑，解決傳統(tǒng)方法難以解決的求二面角問(wèn)題．向量法求二面角通常有以下三種轉(zhuǎn)化方式：①先作、證二面角的平面角，再求得二面角的大小為；②先求二面角兩個(gè)半平面的法向量（注意法向量的方向要分布在二面角的內(nèi)外），再求得二面角的大小為或其補(bǔ)角；③先分別在二面角兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線（垂足不重合），又可轉(zhuǎn)化為求兩條異面直線的夾角．

例題15

證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則，

，．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則所以

不妨令，則．

由于，得．

又平面，平面．

點(diǎn)評(píng)：平面的法向量是空間向量的一個(gè)重要概念，它在解決立體幾何的許多問(wèn)題中都有很好的應(yīng)用.