將⑤式代入④式，得，

于是 …………………………………………4分

由已知得，    ⑥

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為

將③式和⑥式代入上式，得

所以線段PM的中點(diǎn)在y軸上 ……………………………………………………8分

   （3）因?yàn)辄c(diǎn)P（1，－1）在拋物線

由③式知

將代入⑥式得

因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為

故當(dāng)

即………………………………………………………12分

73、(吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2008屆高三年級(jí)第五次模擬考試)設(shè)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)。

（Ⅰ）若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且，

求點(diǎn)的坐標(biāo)。

（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍。

解：（Ⅰ）易知。

，

                                         ………………………………3分

聯(lián)立，解得， ………………5分

（Ⅱ）顯然 …………………………………………6分

可設(shè)

聯(lián)立

  ……………………………………7分

由 

得   1   …………………………………………8分

又，

   ………………………………………………9分

又

 2   ……………………………………11分

綜12可知 …………12分

74、(江蘇省常州市北郊中學(xué)2008屆高三第一次模擬檢測)在中，已知，，、兩邊所在的直線分別與 軸交于原點(diǎn)同側(cè)的點(diǎn)、，且滿足。

(1)求點(diǎn)的軌跡方程；

(2)若是上任一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段上，求的最小值。

解：（1）設(shè)點(diǎn)，．

當(dāng)時(shí)，軸，當(dāng)時(shí)， 軸，與題意不符，所以;

由．．三點(diǎn)共線有，解得．同理由．． 三點(diǎn)共線，解得．

，   ，

化簡得點(diǎn)的軌跡方程為

（2）解略。最小值為－2

75、(江蘇省南通市2008屆高三第二次調(diào)研考試)已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A、C，上頂點(diǎn)為B．過F、B、C作⊙P，其中圓心P的坐標(biāo)為（m，n）．

（Ⅰ）當(dāng)m＋n>0時(shí)，求橢圓離心率的范圍；

（Ⅱ）直線AB與⊙P能否相切？證明你的結(jié)論．

解：（Ⅰ）設(shè)F、B、C的坐標(biāo)分別為（－c，0），（0，b），（1，0），則FC、BC的中垂線分別為

，．………………………………………………………………2分

聯(lián)立方程組，解出……………………………………………………………4分

，即，即（1＋b）（b－c）>0，

∴ b>c． ……………………………………………………………………………………6分

從而即有，∴．……………………………………………………7分

又，∴． …………………………………………………………………8分

（Ⅱ）直線AB與⊙P不能相切．…………………………………………………………………9分

由，＝． ………………………………………………10分

如果直線AB與⊙P相切，則?＝－1． ………………………………………12分

解出c＝0或2，與0＜c＜1矛盾，………………………………………………………14分

所以直線AB與⊙P不能相切． …………………………………………………………15分

評(píng)講建議：

此題主要考查直線與直線、直線與圓以及橢圓的相關(guān)知識(shí)，要求學(xué)生理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點(diǎn)，從而大膽求出交點(diǎn)坐標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于橢圓中a，b，c的齊次等式得離心率的范圍．第二小題亦可以用平幾的知識(shí)：圓的切割線定理，假設(shè)直線AB與⊙P相切，則有AB²＝AF×AC，易由橢圓中a，b，c的關(guān)系推出矛盾．

76、(江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)2008屆高三調(diào)研)已知直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線上.

（Ⅰ）求此橢圓的離心率；

（Ⅱ）若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的在圓上，求此橢圓的方程.

解：（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 得, 根據(jù)韋達(dá)定理，得

 ∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）.

 由已知得

  故橢圓的離心率為

（2）由（1）知從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為解得。由已知得 ，故所求的橢圓方程為 .

77、(江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)2008屆高三調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn).

 （Ⅰ）如果直線過拋物線的焦點(diǎn)，求的值；

 （Ⅱ）如果證明直線必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn).

解：（Ⅰ）由題意：拋物線焦點(diǎn)為（1，0）

設(shè)消去x得

則，

=

（Ⅱ）設(shè)消去x，得

，則y₁+y₂=4t ，y₁y₂=－4b。

=。

令，∴直線l過定點(diǎn)（2，0）。

78、(江蘇省南通通州市2008屆高三年級(jí)第二次統(tǒng)一測試)傾斜角為60°的一束平行光線，將一個(gè)半徑為的球投影在水平地面上，形成一個(gè)橢圓．若以該橢圓的中心為原點(diǎn)，較長的對(duì)稱軸為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若球的某一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)在地面上的投影恰好分別落在橢圓邊界的A、B兩點(diǎn)上，且已知C（－4，0），求?的取值范圍．

解：（1）設(shè)橢圓方程是，由題知b=，2a=，a=2

所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．                              6′

（2）設(shè)A（x₁,y₁），B（x₂,y₂），A、B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，

=（x₁＋4,y₁），=（x₂＋4,y₂），

?=（x₁＋4,y₁）?（x₂＋4,y₂）=x₁x₂＋4(x₁＋x₂)＋16＋y₁y₂

= x₁x₂＋16＋y₁y₂                                                    9′

AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程是y=kx，代入橢圓方程得：

?=                                              12′

由于k可以取任意實(shí)數(shù)，故?∈[12，13），                       14′

AB與x軸垂直時(shí)，||=||=，cos∠ACB==

?=13

∴?∈[12，13]．                                             16′

79、(江蘇省南通通州市2008屆高三年級(jí)第二次統(tǒng)一測試)設(shè)A、B是拋物線y=2x²上兩點(diǎn)，求證：AB的垂直平分線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的充要條件是線段AB的中點(diǎn)落在y 軸上。

證明：設(shè)A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)，AB的中點(diǎn)落在y 軸上即x₁＋x₂=0；

∵拋物線y=2x²的焦點(diǎn)                                         3′

充分性：當(dāng)AB的中點(diǎn)落在y 軸上即x₁＋x₂=0時(shí)，y₁=y₂，A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，直線即為y軸，經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)。                                              6′

必要性：

（1）直線的斜率不存在且經(jīng)過時(shí)，直線即為y軸，A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，AB的中點(diǎn)落在y 軸上。                                                   

（2）直線經(jīng)過且斜率存在，設(shè)斜率為k（顯然k≠0），截距為，

即直線：y=kx+

由已知得：

≠0

即的斜率存在時(shí)，AB的中點(diǎn)不可能落在y 軸上即題設(shè)A、B點(diǎn)不存在。    9′

綜上所述，經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的充要條件是線段AB的中點(diǎn)落在y 軸上。     10′

80、(江西省鷹潭市2008屆高三第一次模擬)橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為

 ,是橢圓上一點(diǎn)，且滿足。

（1）求離心率e的取值范圍

（2）當(dāng)離心率e取得最小值時(shí)，點(diǎn)N( 0 , 3 )到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為5

(i)求此時(shí)橢圓C的方程

(ii)設(shè)斜率為k(k¹0)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，Q為AB的中點(diǎn)，問A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過點(diǎn)P（0，- ）、Q的直線對(duì)稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請(qǐng)說明理由。

解：(1)、由幾何性質(zhì)知的取值范圍為：≤e＜1………………3分

(2)、(i) 當(dāng)離心率e取最小值時(shí)，橢圓方程可表示為+ = 1 。設(shè)H( x , y )是橢圓上的一點(diǎn)，則| NH |² =x²+(y-3)² = - (y+3)²+2b²+18 ，其中 - b≤y≤b

若0＜b＜3 ，則當(dāng)y = - b時(shí)，| NH |²有最大值b²+6b+9 ，所以由b²+6b+9=50解得b = -3±5(均舍去) …………………5分

若b≥3，則當(dāng)y = -3時(shí)，| NH |²有最大值2b²+18 ，所以由2b²+18=50解得b²=16

∴所求橢圓方程為+ = 1………………7分

(ii) 設(shè) A( x₁ , y₁ ) ，B( x₂ , y₂ )，Q( x₀ , y₀ )，則由兩式相減得x₀+2ky₀=0；………①　　……………………8分

又直線PQ⊥直線l，∴直線PQ的方程為y= - x - ，將點(diǎn)Q( x₀ , y₀ )坐標(biāo)代入得y₀= - x₀- ………②　　……………………9分

由①②解得Q( - k ,  )，而點(diǎn)Q必在橢圓的內(nèi)部

∴ + < 1，…………… 10分

由此得k² < ，又k≠0

∴ - < k < 0或0 < k <

故當(dāng)( - , 0 ) ∪( 0 , )時(shí)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于過點(diǎn)P、Q、的直線對(duì)稱�！�………12分

81、(寧夏區(qū)銀川一中2008屆第六次月考)如圖，直線y=kx+b與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記△AOB的面積為S．

   （I）求在k=0，0<b<1的條件下，S的最大值；

   （II）當(dāng)|AB|=2,S=1時(shí)，求直線AB的方程．

解：（Ⅰ）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由，解得，

所以

．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值．

（Ⅱ）解：由

得，

，

．                ②

設(shè)到的距離為，則

，       又因?yàn)?sub>，

所以，代入②式并整理，得

，

解得，，代入①式檢驗(yàn)，，

故直線的方程是

或或，或．

82、(山東省聊城市2008屆第一期末統(tǒng)考)已知定點(diǎn)A（－2，0），動(dòng)點(diǎn)B是圓F：（F為圓心）上一點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P.

   （1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

   （2）直線交于M，N兩點(diǎn)，試問在曲線E位于第二象限部分上是否存在一點(diǎn)C，使共線（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解：（1）由題意

∴

因此點(diǎn)P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓.……………………4分

設(shè)所求橢圓的方程為

∴

∴

∴點(diǎn)P的軌跡方程為…………………………6分

（2）假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)

由……………………8分

……………………10分

又

又

所以存在滿足題意的點(diǎn)C（）……………………12分

83、(山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2008屆高三第三次診斷性測試)已知橢圓的離心率為，直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.

   （1）求橢圓的方程；

   （2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；

   （3）設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿足求的取值范圍.

解：（Ⅰ）∵   ……1分

∵直線相切，

∴   …………2分

∴    …………3分

∵橢圓C₁的方程是     ………………4分

（Ⅱ）∵M(jìn)P=MF₂，

∴動(dòng)點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)F₁（1，0）的距離，

∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是C為l₁準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線  ………………6分

∴點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為    …………7分

（Ⅲ）Q（0，0），設(shè)  …………8分

∴  …………9分

∵

∴

∵，化簡得

∴    ………………11分

∴

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立   …………13分

∵

∴當(dāng)的取值范圍是……14分

84、(山西大學(xué)附中2008屆二月月考)已知曲線C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離比它到直線 的距離小1.

   （1）求曲線C的方程；

   （2）過點(diǎn)當(dāng)△AOB的面積為4時(shí)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的值.

解：（1）的距離小于1，

∴點(diǎn)M在直線l的上方，點(diǎn)M到F（1，0）的距離與它到直線的距離相等，所以曲線C的方程為

   （2）當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，它與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，

設(shè)直線m的方程為，

代入  （*）與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)    設(shè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，

則

點(diǎn)O到直線m的距離，

 ，

（舍去）

當(dāng)方程（*）的解為   若

若  當(dāng)方程（☆）的解為

若

若  所以，

85、(上海市部分重點(diǎn)中學(xué)2008屆高三第二次聯(lián)考)設(shè)分別是橢圓C：的左右焦點(diǎn)

(1)設(shè)橢圓C上的點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)

(2)設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)B的軌跡方程

(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C 上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PM ，PN的斜率都存在，并記為  試探究的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論。

[解]：（1）由于點(diǎn)在橢圓上，  ------1分

2=4,         ------2分  

橢圓C的方程為   --------3分

焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1，0）  ，（1，0）-----------4分

（2）設(shè)的中點(diǎn)為B（x, y）則點(diǎn)--------6分

把K的坐標(biāo)代入橢圓中得-----8分

線段的中點(diǎn)B的軌跡方程為----------10分

（3）過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 

設(shè)           ----11分   

，得------12分

-------------------13分

==-----------15分

故：的值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，同時(shí)與直線L無關(guān)，-----16分

86、