例1、（06陜西）某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,則不同的選派方案共有      種。（600種）

（一）解答題：

1、已知正方體中，分別為的中點(diǎn)，求證：（1）四點(diǎn)共面；（2）若交平面于點(diǎn)，則三點(diǎn)共線。

2、已知，求證：。

3、設(shè)，且，求證：。

4、已知：。求證：中至少有一個(gè)不大于。

5、已知。求證：（1）；

（2）中至少有一個(gè)不小于。

合情推理與演繹推理080626

例1、（07福建）中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”、“平行關(guān)系”等等．如果集合中元素之間的一個(gè)關(guān)系“”滿足以下三個(gè)條件：

（1）自反性：對(duì)于任意，都有；

（2）對(duì)稱性：對(duì)于，若，則有；

（3）傳遞性：對(duì)于，若，，則有．

則稱“”是集合的一個(gè)等價(jià)關(guān)系．例如：“數(shù)的相等”是等價(jià)關(guān)系，而“直線的平行”不是等價(jià)關(guān)系（自反性不成立）．請(qǐng)你再列出三個(gè)等價(jià)關(guān)系：______；

例2、（07上海）對(duì)于非零實(shí)數(shù)，以下四個(gè)命題都成立：

① ；     ② ；

③ 若，則；    ④ 若，則．

那么，對(duì)于非零復(fù)數(shù)，仍然成立的命題的所有序號(hào)是                ．

（一）選擇題：

1、已知中，若，則是（   ）

A、等邊三角形       B、鈍角三角形        C、銳角三角形         D、直角三角形

分析：右邊全變?yōu)槿�角形的邊，用三角形余弦定理。選D。

2、如果函數(shù)是偶函數(shù)，那么函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是直線（   ）

A、        B、        C、          D、

3、設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集是（    ）

A、          B、[0，6]         C、[        D、[0，7]

4、是單位正方體，黑、白兩個(gè)螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿棱向前爬行，每爬完一條棱稱為“爬完一段”。白螞蟻爬行的路線是，黑螞蟻爬行的路線是，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第段與第段所在直線必須是異面直線（其中是自然數(shù)）。設(shè)黑、白螞蟻都爬完段后各自停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑、白螞蟻的距離是（   ）

A、1      B、       C、       D、0

5、已知向量，在軸上一點(diǎn)使有最小值，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（    ）

A、      B、（2，0）      C、（3，0）      D、（4，0）

6、是函數(shù)在區(qū)間（上為減函數(shù)的（   ）

A、充分不必要條件　          B、必要不充分條件

C、充要條件　                D、既不充分也不必要條件　

（二）填空題：7、方程的根稱為的不動(dòng)點(diǎn)，若函數(shù)有唯一不動(dòng)點(diǎn)，且，，則              。

數(shù)學(xué)歸納法0806027

例1、（06安徽21）數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知

（Ⅰ）寫出與的遞推關(guān)系式，并求關(guān)于的表達(dá)式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。

解：由得：，即，所以，對(duì)成立。

由，，…，相加得：，又，所以，當(dāng)時(shí)，也成立。

（Ⅱ）由，得。

而，

，

。

例2、（07廣東21）已知函數(shù)，是方程的兩個(gè)根（），是的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，．

（1）求的值；

（2）證明：對(duì)任意的正整數(shù)，都有；

（3）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

已知函數(shù)，是方程f(x)=0的兩個(gè)根，是f(x)的導(dǎo)數(shù)；設(shè)，（n=1,2,……）

 （1）求的值；

 （2）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有>a；

（3）記（n=1,2,……），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n。

解析：（1）∵，是方程f(x)=0的兩個(gè)根，

∴；

 （2），

=，∵，∴有基本不等式可知（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），∴同，樣，……，（n=1,2,……），

 （3），而，即，

，同理，，又

。

例3、（05重慶22）數(shù)列滿足.

（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；

（Ⅱ）已知不等式對(duì)成立，證明：，其中無(wú)理數(shù)e=2.71828…。

（Ⅰ）證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，，不等式成立.

   （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即

那么.  這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)不等式成立.

根據(jù)（1）、（2）可知：成立.

（Ⅱ）證法一：

由遞推公式及（Ⅰ）的結(jié)論有

兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得

  故 

上式從1到求和可得

即

（Ⅱ）證法二：

由數(shù)學(xué)歸納法易證成立，故

令

取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得 

上式從2到n求和得 

因

故成立。

（一）選擇題：

1、（07上海）設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：“當(dāng)成立時(shí)，總可推 出成立”．那么，下列命題總成立的是（　�。�

    Ａ、若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立

    Ｂ、若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立

    Ｃ、若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立

    Ｄ、若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立

（二）解答題：

2、（07湖北21）（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，；

（II）對(duì)于，已知，

求證：，；

（III）求出滿足等式的所有正整數(shù)。

解法1：（Ⅰ）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（?）當(dāng)時(shí)，原不等式成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，

因?yàn)?sub>，所以左邊右邊，原不等式成立；

（?）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，

，，于是在不等式兩邊同乘以得

，

所以．即當(dāng)時(shí)，不等式也成立．

綜合（?）（?）知，對(duì)一切正整數(shù)，不等式都成立．

（Ⅱ）證：當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）得，

于是，．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，

，

．

即．即當(dāng)時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)．

故只需要討論的情形：

當(dāng)時(shí)，，等式不成立；

當(dāng)時(shí)，，等式成立；

當(dāng)時(shí)，，等式成立；

當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，故，等式不成立；

當(dāng)時(shí)，同的情形可分析出，等式不成立．

綜上，所求的只有．

解法2：（Ⅰ）證：當(dāng)或時(shí)，原不等式中等號(hào)顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)，且時(shí)，，．　　①

（?）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?sub>，所以，即左邊右邊，不等式①成立；

（?）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式①成立，即，則當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?sub>，所以．又因?yàn)?sub>，所以．

于是在不等式兩邊同乘以得

，

所以．即當(dāng)時(shí)，不等式①也成立．

綜上所述，所證不等式成立．

（Ⅱ）證：當(dāng)，時(shí)，，，

而由（Ⅰ），，

．

（Ⅲ）解：假設(shè)存在正整數(shù)使等式成立，

即有．　　　　�、�

又由（Ⅱ）可得

，與②式矛盾．

故當(dāng)時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)．

下同解法1．

3、（06陜西22）已知函數(shù)，且存在，使。

（I）證明：是上的單調(diào)增函數(shù)；（II）設(shè)，

其中。證明：；（III）證明：。

解: （I）∵f '(x)=3x²－2x+ = 3(x－)²+ >0 ， ∴f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)．

（II）∵0<x₀< ， 即x₁<x₀<y_1．又f(x)是增函數(shù)， ∴f(x₁)<f(x₀)<f(y₁)．即x₂<x₀<y₂．

又x₂=f(x₁)=f(0)=>0 =x₁， y₂=f(y₁)=f()=<=y₁，綜上， x₁<x₂<x₀<y₂<y₁．

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:

(1)當(dāng)n=1時(shí)，上面已證明成立．

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)有x_k<x_k+1<x₀<y_k+1<y_k ．

當(dāng)n=k+1時(shí)，由f(x)是單調(diào)增函數(shù)，有f(x_k)<f(x_k+1)<f(x₀)<f(y_k+1)<f(y_k)，∴x_k+1<x_k+2<x₀<y_k+2<y_k+1

由(1)(2)知對(duì)一切n=1，2，…，都有x_n<x_n+1<x₀<y_n+1<y_n．

（III） = = y_n²+x_ny_n+x_n²－(y_n+x_n)+ ≤(y_n+x_n)²－(y_n+x_n)+

  =[(y_n+x_n)－]²+ ． 由(Ⅱ)知 0<y_n+x_n<1．∴－ < y_n+x_n－ < ， ∴ < ()²+ =

4、（06江西22）已知數(shù)列滿足：，且

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)，不等式。

解：

（1）       將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為

1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得a_n＝（n³1）…………1°

（2）       證：據(jù)1°得，a₁?a₂?…a_n＝

為證a₁?a₂?……a_n<2?n！

只要證nÎN^*時(shí)有>…………2°

顯然，左端每個(gè)因式都是正數(shù)，先證明，對(duì)每個(gè)nÎN^*，有

³1－（）…………3°

用數(shù)學(xué)歸納法證明3°式：

（i）                    n＝1時(shí)，3°式顯然成立，

（ii）                  設(shè)n＝k時(shí)，3°式成立，

即³1－（）

則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

³〔1－（）〕?（）

＝1－（）－＋（）

³1－（＋）即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，3°式也成立。

故對(duì)一切nÎN^*，3°式都成立。

利用3°得，³1－（）＝1－

＝1－>

故2°式成立，從而結(jié)論成立。