題目列表(包括答案和解析)
35.(全國卷I)A、B是治療同一種疾病的兩種藥,用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成,其中2只服用A,另2只服用B,然后觀察療效。若在一個(gè)試驗(yàn)組中,服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多,就稱該試驗(yàn)組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為,服用B有效的概率為。
(Ⅰ)求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率;
(Ⅱ)觀察3個(gè)試驗(yàn)組,求這3個(gè)試驗(yàn)組中至少有一個(gè)甲類組的概率。
解: (1)設(shè)Ai表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中,服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,
Bi表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中,服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,
依題意有: P(A1)=2×× = , P(A2)= × = . P(B0)= × = ,
P(B1)=2× × = , 所求概率為: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)
= × + × + × =
(Ⅱ)所求概率為: P=1-(1-)3=
34.(全國卷I)A、B是治療同一種疾病的兩種藥,用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成,其中2只服用A,另2只服用B,然后觀察療效。若在一個(gè)試驗(yàn)組中,服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多,就稱該試驗(yàn)組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為,服用B有效的概率為。
(Ⅰ)求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率;
(Ⅱ)觀察3個(gè)試驗(yàn)組,用表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲類組的個(gè)數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望。
解: (1)設(shè)Ai表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中,服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,
Bi表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中,服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,
依題意有: P(A1)=2×× = , P(A2)= × = . P(B0)= × = ,
P(B1)=2× × = , 所求概率為: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)
= × + × + × =
(Ⅱ)ξ的可能值為0,1,2,3且ξ~B(3,) . P(ξ=0)=()3= , P(ξ=1)=C31××()2=,
P(ξ=2)=C32×()2× = , P(ξ=3)=( )3=
ξ |
0 |
1 |
2 |
3 |
P |
|
|
|
|
ξ的分布列為:
33.(遼寧卷)甲、乙兩班各派2名同學(xué)參加年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽,參賽同學(xué)成績(jī)及格的概率都為0.6,且參賽同學(xué)的成績(jī)相互之間沒有影響,求:
(1)甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率;
(2)甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率.
本小題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
解:(Ⅰ)甲班參賽同學(xué)恰有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率為
乙班參賽同學(xué)中恰有一名同學(xué)成績(jī)及格的概率為
故甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績(jī)幾個(gè)的概率為
(Ⅱ)解法一:甲、乙兩班4名參賽同學(xué)成績(jī)都不及格的概率為
故甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有一名同學(xué)成績(jī)都不及格的概率為
解法二:甲、乙兩班參賽同學(xué)成績(jī)及格的概率為
甲、乙兩班參賽同學(xué)中恰有2名同學(xué)成績(jī)及格的概率為
甲、乙兩班參賽同學(xué)中恰有3名同學(xué)成績(jī)及格的概率為
甲、乙兩班4同學(xué)參賽同學(xué)成績(jī)都及格的概率為
故甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率為
32.(遼寧卷)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目,對(duì)甲項(xiàng)目每投資十萬元,一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、;已知乙項(xiàng)目的利潤與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中價(jià)格下降的概率都是,設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整,記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為,對(duì)乙項(xiàng)目每投資十萬元, 取0、1、2時(shí), 一年后相應(yīng)利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元.隨機(jī)變量、分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬元一年后的利潤.
(I) 求、的概率分布和數(shù)學(xué)期望、;
(II) 當(dāng)時(shí),求的取值范圍.
[解析](I)解法1: 的概率分布為
|
1.2 |
1.18 |
1.17 |
P |
|
|
|
E=1.2+1.18+1.17=1.18.
由題設(shè)得,則的概率分布為
|
0 |
1 |
2 |
P |
|
|
|
故的概率分布為
|
1.3 |
1.25 |
0.2 |
P |
|
|
|
所以的數(shù)學(xué)期望為
E=++=.
解法2: 的概率分布為
|
1.2 |
1.18 |
1.17 |
P |
|
|
|
E=1.2+1.18+1.17=1.18.
設(shè)表示事件”第i次調(diào)整,價(jià)格下降”(i=1,2),則
P(=0)= ;
P(=1)=;
P(=2)=
故的概率分布為
|
1.3 |
1.25 |
0.2 |
P |
|
|
|
所以的數(shù)學(xué)期望為
E=++=.
(II) 由,得:
因0<p<1,所以時(shí),p的取值范圍是0<p<0.3.
[點(diǎn)評(píng)]本小題考查二項(xiàng)分布、分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識(shí),考查同學(xué)們運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
31.(江西卷)某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng),抽獎(jiǎng)規(guī)則是:從裝有9個(gè)白球、1個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球,記下顏色后放回,摸出一個(gè)紅球獲得二得獎(jiǎng);摸出兩個(gè)紅球獲得一等獎(jiǎng).現(xiàn)有甲、乙兩位顧客,規(guī)定:甲摸一次,乙摸兩次.求
(1)甲、乙兩人都沒有中獎(jiǎng)的概率;
(2)甲、兩人中至少有一人獲二等獎(jiǎng)的概率.
解:(1)
(2)方法一:
方法二:
方法三:
30.(江西卷)某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng),抽獎(jiǎng)規(guī)則是:從裝有9個(gè)白球,1個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球,記下顏色后放回,摸出一個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金10元;摸出2個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金50元,現(xiàn)有甲,乙兩位顧客,規(guī)定:甲摸一次,乙摸兩次,令x表示甲,乙摸球后獲得的獎(jiǎng)金總額。求:
(1)x的分布列
(2)x的的數(shù)學(xué)期望
解:(1)的所有可能的取值為0,10,20,50,60.
分布列為
x |
0 |
10 |
20 |
50 |
60 |
P |
|
|
|
|
|
(元)
29.(湖南卷)某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對(duì)5家小型煤礦進(jìn)行安全檢查(簡(jiǎn)稱安檢).若安檢不合格,則必須進(jìn)行整改.若整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格,則強(qiáng)行關(guān)閉.設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨(dú)立的,且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5, 整改后安檢合格的概率是0.8,計(jì)算(結(jié)果精確到0.01):
(Ⅰ)恰好有兩家煤礦必須整改的概率;
(Ⅱ)平均有多少家煤礦必須整改;
(Ⅲ)至少關(guān)閉一家煤礦的概率.
解:(Ⅰ).每家煤礦必須整改的概率是1-0.5,且每家煤礦是否整改是相互獨(dú)立的.
所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是.
(Ⅱ).由題設(shè),必須整改的煤礦數(shù)服從二項(xiàng)分布B(5,0.5).從而的數(shù)學(xué)期望是 E=,即平均有2.50家煤礦必須整改.
(Ⅲ).某煤礦被關(guān)閉,即該煤礦第一次安檢不合格,整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格,所以該煤礦被關(guān)閉的概率是,從而該煤礦不被關(guān)閉的概率是0.9.由題意,每家煤礦是否被關(guān)閉是相互獨(dú)立的,所以至少關(guān)閉一家煤礦的概率是
28.(湖北卷)某單位最近組織了一次健身活動(dòng),活動(dòng)分為登山組和游泳組,且每個(gè)職工至多參加了其中一組。在參加活動(dòng)的職工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%。登山組的職工占參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的,且該組中,青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%。為了了解各組不同的年齡層次的職工對(duì)本次活動(dòng)的滿意程度,現(xiàn)用分層抽樣的方法從參加活動(dòng)的全體職工中抽取一個(gè)容量為200的樣本。試確定
(Ⅰ)游泳組中,青年人、中年人、老年人分別所占的比例;
(Ⅱ)游泳組中,青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)。
本小題主要考查分層抽樣的概念和運(yùn)算,以及運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。
解:(Ⅰ)設(shè)登山組人數(shù)為,游泳組中,青年人、中年人、老年人各占比例分別為a、b、c,則有,解得b=50%,c=10%.
故a=100%-50%-10%=40%,即游泳組中,青年人、中年人、老年人各占比例分別為40%、
50%、10%。
(Ⅱ)游泳組中,抽取的青年人數(shù)為(人);抽取的中年人數(shù)為
50%=75(人);抽取的老年人數(shù)為10%=15(人)。
27.(湖北卷)在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布。已知成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生有12名。
(Ⅰ)、試問此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人?
(Ⅱ)、若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前50名的學(xué)生,試問設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為多少分?
可共查閱的(部分)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 |
0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 |
0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 |
0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 |
0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 |
0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838 |
0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 |
0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 |
0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 |
0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 |
0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857 |
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查正態(tài)分布,對(duì)獨(dú)立事件的概念和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查閱,考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。
解:(Ⅰ)設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為,因?yàn)?sub>-N(70,100),由條件知,
P(≥90)=1-P(<90)=1-F(90)=1-=1-(2)=1-0.9772=0.228.
這說明成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28%,因此,
參賽總?cè)藬?shù)約為≈526(人)。
(Ⅱ)假定設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線為x分,則P(≥x)=1-P(<x)=1-F(90)=1-==0.0951,即=0.9049,查表得≈1.31,解得x=83.1.
故設(shè)獎(jiǎng)得分?jǐn)?shù)線約為83.1分。
26.(廣東卷)某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布如下:
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
0 |
|
|
|
|
現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊,以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī),記為.
(I)求該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)的概率
(II)求的分布列
解:(Ⅰ)求該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)的概率為;
(Ⅱ) 的可能取值為7、8、9、10
分布列為
|
7 |
8 |
9 |
10 |
P |
0.04 |
0.21 |
0.39 |
0.36 |
(Ⅲ) 的數(shù)學(xué)希望為.
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