2007年南通市高三第一次調(diào)研考試
數(shù)學(xué)試題
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．
設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，則
A．{4，5} B．{2，3} C．{1} D．{2}
2．
…
除以9的余數(shù)是
A．1
B．
3．
函數(shù)
的定義域和值域均為[0，1]，則a等于
A．
B．
D．
4． 雙曲線的一條漸近線與實(shí)軸的夾角為α，則雙曲線的離心率為
A．sinα B．
C．cosα D．
5． 對(duì)某種電子元件使用壽命跟蹤調(diào)查，所得樣本頻率分布直方圖如右圖，由圖可知一批電子元件中壽命在100~300小時(shí)的電子元件的數(shù)量與壽命在300~600小時(shí)的電子元件的數(shù)量的比是
A．
B．
C．
D．
6． 函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間是
A．
B．
C．
D．
7． 箱內(nèi)有大小相同的6個(gè)紅球和4個(gè)黑球，從中每次取1個(gè)球記下顏色后再放回箱中，則前3次恰有1次取到黑球的概率為
A．
B．
C．
D．
8． 空間四條直線a，b，c，d，滿足a⊥b，b⊥c，c⊥d，d⊥a，則必有
A．a(chǎn)⊥c B．b⊥d C．b∥d 或a∥c D．b∥d 且a∥c
9． 若a＞0，b＞0，a3＋b3＜
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
10．△ABC的外接圓圓心為O，且
，則∠C等于
A．45° B．60° C．75° D．90°
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．
11．已知向量a＝（－1，1），b＝
，則a與b的夾角α＝ ▲ ．
12．垂直于直線x－3y＝0且與曲線
相切的直線方程為 ▲ ．
13．橢圓
的一個(gè)焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上，且
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則
△OPF的面積S＝ ▲ ．
14．?dāng)?shù)列{an}中，
，
，且
，則常數(shù)t＝ ▲ ．
15．一排7個(gè)座位，讓甲、乙、丙三人就坐，要求甲與乙之間至少有一個(gè)空位，且甲與丙之間也至少有一個(gè)空位，則不同的坐法有 ▲ 種．
16．已知函數(shù)
，當(dāng)
時(shí)，有
．給出以下命題：
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
．
則所有正確命題的序號(hào)是 ▲ ．
三、解答題：本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（本題滿分12分）
已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，且過(guò)點(diǎn)P（2，2），過(guò)F的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)直線l是拋物線的準(zhǔn)線，求證：以AB為直徑的圓與直線l相切．
18．（本題滿分14分）
在同一平面內(nèi)，Rt△ABC和Rt△ACD拼接如圖所示，現(xiàn)將△ACD繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0＜α＜
）后得△AC1D1，AD1交DC于點(diǎn)E，AC1交BC于點(diǎn)F．∠BAC＝∠ACD＝
，∠ACB＝∠ADC＝
，AC＝
．
（1）當(dāng)AF＝1時(shí)，求α；
（2）求證：對(duì)任意的α∈（0，），
為定值．
19．（本題滿分14分）
正四棱錐S－ABCD中，O為底面中心，E為SA的中
點(diǎn)，AB＝1，直線AD到平面SBC的距離等于
．
（1）求斜高SM的長(zhǎng)；
（2）求平面EBC與側(cè)面SAD所成銳二面角的大��；
（3）在SM上是否存在點(diǎn)P，使得OP⊥平面EBC？
并證明你的結(jié)論．
20．（本題滿分15分）
（1）設(shè)a，n∈N*，a≥2，證明：
；
（2）等比數(shù)列{an}中，
，前n項(xiàng)的和為An，且A7，A9，A8成等差數(shù)列．設(shè)
，數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和為Bn，證明：Bn＜
．
21．（本題滿分15分）
已知函數(shù)
和
（其中
），
，
．
（1）求
的取值范圍；
（2）方程
有幾個(gè)實(shí)根？為什么？
2007年南通市高三第一次調(diào)研考試
1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．B 7．D 8．C 9．B 10．A
11．120° 12．3x＋y－1＝0 13．
14．10 15．100 16．（1），（4）
17．解：（1）設(shè)拋物線
，將（2，2）代入，得p＝1． …………4分
∴y2=2x為所求的拋物線的方程．………………………………………………………5分
（2）聯(lián)立
消去y，得到
． ………………………………7分
設(shè)AB的中點(diǎn)為
，則
．
∴ 點(diǎn)
到準(zhǔn)線l的距離
．…………………………………9分
而
，…………………………11分
，故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切．…………………… 12分
（注：本題第（2）也可用拋物線的定義法證明）
18．解：（1）在△ACF中，
，即
．………………………………5分
∴
．又
，∴
．……………………
7分
（2）
． ……………………………14分
（注：用坐標(biāo)法證明，同樣給分）
19．
解法一：（1）連OM，作OH⊥SM于H．
∵SM為斜高，∴M為BC的中點(diǎn)，∴BC⊥OM．
∵BC⊥SM，∴BC⊥平面SMO．
又OH⊥SM，∴OH⊥平面SBC．……… 2分
由題意，得
．
設(shè)SM＝x，
則
，解之
，即
．………………… 5分
（2）設(shè)面EBC∩SD＝F，取AD中點(diǎn)N，連SN，設(shè)SN∩EF＝Q．
∵AD∥BC，∴AD∥面BEFC．而面SAD∩面BEFC＝EF，∴AD∥EF．
又AD⊥SN，AD⊥NM，AD⊥面SMN．
從而EF⊥面SMN，∴EF⊥QS，且EF⊥QM．
∴∠SQM為所求二面角的平面角，記為α．……… 7分
由平幾知識(shí)，得
．
∴
，∴
．
∴
，即所求二面角為
． ……………… 10分
（3）存在一點(diǎn)P，使得OP⊥平面EBC．取SD的中點(diǎn)F，連FC，可得梯形EFCB，
取AD的中點(diǎn)G，連SG，GM，得等腰三角形SGM，O為GM的中點(diǎn)，
設(shè)SG∩EF＝H，則H是EF的中點(diǎn)．
連HM，則HM為平面EFCB與平面SGM的交線．
又∵BC⊥SO，BC⊥GM，∴平面EFCB⊥平面SGM． …………… 12分
在平面SGM中，過(guò)O作OQ⊥HM，由兩平面垂直的性質(zhì)，可知OQ⊥平面EFCB．
而OQ
平面SOM，在平面SOM中，延長(zhǎng)OQ必與SM相交于一點(diǎn)，
故存在一點(diǎn)P，使得OP⊥平面EBC． ……………………… 14分
|
，
，
，
． ……………… 1分
，
，
，
．
，
．
＝（0，1，0），由題意，得
．解得
．
． …………………………………………………… 5分
，
． ………………………………6分
，
，得
解得
∴
．………………… 8分
，∴
．…………… 10分
點(diǎn)．證明如下：
． ………………………… 11分
，令
與n2共線，則
． ……………… 13分
．故存在P∈SM，使OP⊥面EBC．………………………
14分
＝
． ………………3分
＝
=
≥
． …………6分
，
，
，∴公比
．……9分
． …………………………………………10分
． ……………12分
…
…
．……15分21．解：（1）∵
，
，∴
，∴
． 1分
，即
，∴
． …3分
，即
時(shí)，上式不成立．………………………………………………4分
，即
時(shí)，
．由條件
，得到
．
，解得
或
． ……………………………………………5分
，解得
或
．…………………………………………6分
m的取值范圍是
或
． ………………………………………7分
，即
．
，則
．
． ………………………10分
有相異兩實(shí)根
．
，∴
顯然
，
，
，∴
，∴
． …………12分
．
為三次函數(shù)
的極小值點(diǎn)，故
只有一個(gè)實(shí)根．…………………………15分