1、（2009上海青浦區(qū)）已知是橢圓上的一個動點，則

的最大值是       ．

5

2、（2009閔行三中模擬）已知為雙曲線的右頂點，F(xiàn)是雙曲線的右焦點，則|AF|=_______。

1

3、（2009冠龍高級中學(xué)3月月考）以橢圓中心為頂點，右頂點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____________。

4、（2009上海普陀區(qū)）設(shè)聯(lián)結(jié)雙曲線與（，）的個頂點的四邊形面積為，聯(lián)結(jié)其個焦點的四邊形面積為，則的最大值為            .

5、（2009上海十四校聯(lián)考）以原點為頂點，x軸為對稱軸且焦點在上的拋物線方程是        

。

1、（2009上海十四校聯(lián)考）我們知道，判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別，那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎？請同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面問題

   （1）設(shè)F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，點F₁、F₂到直線的距離分別為d₁、d₂，試求d₁?d₂的值，并判斷直線L與橢圓M的位置關(guān)系

   （2）設(shè)F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，點F₁、F₂到直線

        （m、n不同時為0）的距離分別為d₁、d₂，且直線L與橢圓M相切，試求d₁?d₂的值

   （3）試寫出一個能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件，并證明

   （4）將（3）中得出的結(jié)論類比到其它曲線，請同學(xué)們給出自己研究的有關(guān)結(jié)論（不必證明）

 解：（1）； ………………2分

    聯(lián)立方程； …………3分

    與橢圓M相交 …………4分

   （2）聯(lián)立方程組

    消去

   （3）設(shè)F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，點F₁、F₂到直線

    的距離分別為d₁、d₂，且F₁、F₂在直線L的同側(cè)那么直線L與橢圓相交的充要條件為：；直線L與橢圓M相切的充要條件為：；直線L與橢圓M相離的充要條件為：　……14分

    證明：由（2）得，直線L與橢圓M相交

    命題得證

   （寫出其他的充要條件僅得2分，未指出“F₁、F₂在直線L的同側(cè)”得3分）

   （4）可以類比到雙曲線：設(shè)F₁、F₂是雙曲線的兩個焦點，點F₁、F₂到直線距離分別為d₁、d₂，且F₁、F₂在直線L的同側(cè)。那么直線L與雙曲線相交的充要條件為：；直線L與雙曲線M相切的充要條件為：；直線L與雙曲線M相離的充要條件為：

………………20分

   （寫出其他的充要條件僅得2分，未指出“F₁、F₂在直線L的同側(cè)”得3分）

2、（2009上海盧灣區(qū)4月�？迹┤鐖D，已知點，動點在軸上，點

在軸上，其橫坐標(biāo)不小于零，點在直線上，

且滿足，.

 （1）當(dāng)點在軸上移動時，求點的軌跡；

 （2）過定點作互相垂直的直線與，與

（1）中的軌跡交于、兩點，與（1）中的軌跡交于、兩點，求四邊形面積的最小值；

 （3）（在下列兩題中，任選一題，寫出計算過程，并求出結(jié)果，若同時選做兩題，

則只批閱第②小題，第①題的解答，不管正確與否，一律視為無效，不予批閱）：

  ① （解答本題，最多得6分）將（1）中的曲線推廣為橢圓：，并

將（2）中的定點取為焦點，求與（2）相類似的問題的解；

  ② （解答本題，最多得9分）將（1）中的曲線推廣為橢圓：，并

將（2）中的定點取為原點，求與（2）相類似的問題的解.

解：（1）設(shè)，易知，，，由題設(shè)，

得其中，從而，，且，

又由已知，得，

當(dāng)時，，此時，得，

又，故，，即，，

當(dāng)時，點為原點，為軸，為軸，點也為原點，從而點也為原點，因此點的軌跡的方程為，它表示以原點為頂點，以為焦點的拋物線；                                         （4分）

（2）由題設(shè)，可設(shè)直線的方程為，直線的方程為，，又設(shè)、，

則由，消去，整理得，

故，同理，                    （7分）

則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因此四邊形面積的最小值為.     （9分）

  （3）①  當(dāng)時可設(shè)直線的方程為，

由，得，

故，，                     （12分）

，

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.                                      （14分）

當(dāng)時，易知，，得，故當(dāng)且僅當(dāng)時四邊形面積有最小值.                              （15分）

②  由題設(shè)，可設(shè)直線的方程為，當(dāng)時，由，

消去，整理得，得，

同理，                                    （12分）

則，其中，

若令，則由

，其中，即，故當(dāng)且僅當(dāng)，即時，有最大值，由，得有最小值，故當(dāng)且僅當(dāng)時，四邊形面積有最小值為.       （17分）

 又當(dāng)時，，，此時，由，得當(dāng)且僅當(dāng)時，四邊形面積有最小值為.      （18分）

3、（2009上海八校聯(lián)考）已知雙曲線的漸近線方程為，左焦點為F，過的直線為，原點到直線的距離是

（1）求雙曲線的方程；

 （2）已知直線交雙曲線于不同的兩點C，D，問是否存在實數(shù)，使得以CD為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的左焦點F。若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由

解：（1）∵　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

原點到直線AB：的距離，　　４分

  故所求雙曲線方程為 　　　　　　　　6分

（2）把中消去y，整理得 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

設(shè)，則

因為以CD為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的左焦點F，所以 ，　　　10分

可得     把代入，

解得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　13分

解，得，滿足，14分

4、（2009上海奉賢區(qū)模擬考）已知：點P與點F（2，0）的距離比它到直線＋4＝0的距離小2，若記點P的軌跡為曲線C。

（1）求曲線C的方程。

（2）若直線L與曲線C相交于A、B兩點，且OA⊥OB。求證：直線L過定點，并求出該定點的坐標(biāo)。

（3）試?yán)�用所學(xué)圓錐曲線知識參照（2）設(shè)計一個與直線過定點有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，并解答所提問題。

（1）解法（A）：點P與點F（2，0）的距離比它到直線＋4＝0的距離小2，所以點P與點F（2，0）的距離與它到直線＋2＝0的距離相等。              ----(1分)

由拋物線定義得：點在以為焦點直線＋2＝0為準(zhǔn)線的拋物線上，          ----(1分)

拋物線方程為。                             ----(2分) 

解法（B）：設(shè)動點，則。當(dāng)時，，化簡得：，顯然，而，此時曲線不存在。當(dāng)時，，化簡得：。

（2），

，

，               ----(1分)

，

，即，，           ----(2分)

直線為，所以                      ----(1分)

                         ----(1分)

由（a）（b）得：直線恒過定點。                        ----(1分)

1、（逆命題）如果直線，且與拋物線相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點。求證：OA⊥OB    （評分：提出問題得1分，解答正確得1分）

（若，求證：?=0，得分相同）

2、（簡單推廣命題）如果直線L與拋物線＝2px(p>0)相交于A、B兩點，且OA⊥OB。求證：直線L過定點（2p，0）

或：它的逆命題（評分：提出問題得2分，解答正確得1分）

3、（類比）

3．1（1）如果直線L與橢圓＋＝1(a>b>0)相交于A、B兩點，M是其右頂點，當(dāng)MA⊥MB。求證：直線L過定點(,0)

3．1（2）如果直線L與橢圓＋＝1(a>b>0)相交于A、B兩點，M是其左頂點，當(dāng)MA⊥MB。求證：直線L過定點(,0)

3．1（3）或它的逆命題

3．2（1）如果直線L與雙曲線－＝1(a>0,b>0)相交于A、B兩點，M是其右頂點，當(dāng)MA⊥MB。求證：直線L過定點(,0)(a≠b)

3．2（2）如果直線L與雙曲線－＝1(a>0,b>0)相交于A、B兩點，M是其左頂點，當(dāng)MA⊥MB。求證：直線L過定點(,0)(a≠b)

3．2（3）或它的逆命題

（評分：提出問題得3分，解答正確得3分）

4、（再推廣）

直角頂點在圓錐曲線上運動

如：如果直線L與拋物線＝2px(p>0)相交于A、B兩點，P是拋物線上一定點(,)，且PA⊥PB。求證：直線L過定點(＋2p,－)

（評分：提出問題得4分，解答正確得3分）

5、（再推廣）

如果直線L與拋物線＝2px(p>0)相交于A、B兩點，P是拋物線上一定點(,)，PA與PB的斜率乘積是常數(shù)m。求證：直線L過定點(－,－)

（評分：提出問題得5分，解答正確得4分）

或?為常數(shù)

頂點在圓錐曲線上運動并把直角改為一般定角或OA與OB的斜率乘積是常數(shù)或?為常數(shù)

5、（2009冠龍高級中學(xué)3月月考）雙曲線上一點到左，右兩焦點距離的差為2．

（1）求雙曲線的方程；

（2）設(shè)是雙曲線的左右焦點，是雙曲線上的點，若，

求的面積；

（3）過作直線交雙曲線于兩點，若，是否存在這樣的直線，使為矩形？若存在，求出的方程，若不存在，說明理由．

（1）

（2）      妨設(shè)在第一象限，則

（3）若直線斜率存在，設(shè)為，代入

得

若平行四邊形為矩形，則

無解

若直線垂直軸，則不滿足．

故不存在直線，使為矩形．

6、（2009上海青浦區(qū)）已知是拋物線上的相異兩點．

（1）設(shè)過點且斜率為-1的直線，與過點且斜率1的直線相交于點P(4，4)，求直線AB的斜率；

（2）問題（1）的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線G，過該圓錐曲線上的

相異兩點A、B所作的兩條直線相交于圓錐曲線G上一點；結(jié)論是關(guān)于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當(dāng)推廣，并給予解答；

（3）線段AB（不平行于軸）的垂直平分線與軸相交于點．若，試用線段AB中點的縱坐標(biāo)表示線段AB的長度，并求出中點的縱坐標(biāo)的取值范圍．

（1）由解得；由解得．

由點斜式寫出兩條直線的方程，，

所以直線AB的斜率為．                                   ……4分

（2）推廣的評分要求分三層

一層:點P到一般或斜率到一般,或拋物線到一般（3分，問題1分、解答2分）

例：1．已知是拋物線上的相異兩點．設(shè)過點且斜率為-1的直線，與過點且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點P，求直線AB的斜率；

2．已知是拋物線上的相異兩點．設(shè)過點且斜率為-k 1的直線，與過點且斜率為k的直線相交于拋物線上的一點P（4，4），求直線AB的斜率；

3．已知是拋物線上的相異兩點．設(shè)過點且斜率為-1的直線，與過點且斜率為1的直線相交于拋物線上的一定點P，求直線AB的斜率； AB的斜率的值．

二層:兩個一般或推廣到其它曲線（4分，問題與解答各占2分）

例：4．已知點R是拋物線上的定點．過點P作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點，試計算直線AB的斜率．

三層:滿分（對拋物線，橢圓，雙曲線或?qū)λ�有圓錐曲線成立的想法．）（7分，問題3分、解答4分）

例如：5.已知拋物線上有一定點P，過點P作斜率分別為、的兩條直線，分別交拋物線于A、B兩點，試計算直線AB的斜率．

過點P（），斜率互為相反數(shù)的直線可設(shè)為，，其中。

 由得，所以

同理，把上式中換成得，所以

當(dāng)P為原點時直線AB的斜率不存在，當(dāng)P不為原點時直線AB的斜率為。

（3）（理）點，設(shè)，則．

設(shè)線段的中點是，斜率為，則=．12分

所以線段的垂直平分線的方程為，

又點在直線上，所以，而，于是．                                                       ……13分

 (斜率，則--------------------------------13分)

線段所在直線的方程為，                  ……14分

代入，整理得               ……15分

，。設(shè)線段長為，則

=

                               ……16分

因為，所以                ……18分

即：．（）   

（文）設(shè)，則．               ……13分

設(shè)線段的中點是，斜率為，則=，……15分

線段的垂直平分線的方程為，             ……17分

又點在直線上，所以，

而，于是．故線段AB中點的橫坐標(biāo)為．   ……18分

7、（2009上海十校聯(lián)考）已知等軸雙曲線的兩個焦點、在直線上，線段的中點是坐標(biāo)原點，且雙曲線經(jīng)過點．

（1）      若已知下列所給的三個方程中有一個是等軸雙曲線的方程：①；②；③．請確定哪個是等軸雙曲線的方程，并求出此雙曲線的實軸長；

（2）      現(xiàn)要在等軸雙曲線上選一處建一座碼頭，向、兩地轉(zhuǎn)運貨物．經(jīng)測算，從到、從到修建公路的費用都是每單位長度萬元，則碼頭應(yīng)建在何處，才能使修建兩條公路的總費用最低？

（3）      如圖，函數(shù)的圖像也是雙曲線，請嘗試研究此雙曲線的性質(zhì)，你能得到哪些結(jié)論？（本小題將按所得到的雙曲線性質(zhì)的數(shù)量和質(zhì)量酌情給分）

【解】（1）雙曲線的焦點在軸上，所以①不是雙曲線的方程……1分

       雙曲線不經(jīng)過點，所以②不是雙曲線的方程           …… 2分

        所以③是等軸雙曲線的方程                             …… 3分

        等軸雙曲線的焦點、在直線上，所以雙曲線的頂點也在直線上，                                                            …… 4分

聯(lián)立方程，解得雙曲線的兩頂點坐標(biāo)為，，所以雙曲線的實軸長為                                         …… 5分

（2）      所求問題即為：在雙曲線求一點，使最�。�

首先，點應(yīng)該選擇在等軸雙曲線的中第一象限的那一支上     …… 6分

等軸雙曲線的的長軸長為，所以其焦距為

       又因為雙曲線的兩個焦點、在直線上，線段的中點是原點，所以是的一個焦點，                                           …… 7分

設(shè)雙曲線的另一個焦點為，由雙曲線的定義知：

所以，要求的最小值，只需求的最小值                                                                …… 8分

直線的方程為，所以直線與雙曲線在第一象限的交點為                                                             …… 9分

    所以碼頭應(yīng)在建點處，才能使修建兩條公路的總費用最低       …… 10分

（3）① ，此雙曲線是中心對稱圖形，對稱中心是原點；                                                  …… 1分

② 漸近線是和．當(dāng)時，當(dāng)無限增大時，無限趨近于，與無限趨近；當(dāng)無限增大時，無限趨近于．      …… 2分

③ 雙曲線的對稱軸是和．                             …… 3分

④ 雙曲線的頂點為，，實軸在直線上，實軸長為                                                                 …… 4分

⑤虛軸在直線，虛軸長為                                 …… 5分

⑥焦點坐標(biāo)為，，焦距                     …… 6分

說明：（i）若考生能把上述六條雙曲線的性質(zhì)都寫出，建議此小題給滿分8分

（ii）若考生未能寫全上述六條雙曲線的性質(zhì)，但是給出了的一些函數(shù)性質(zhì)（諸如單調(diào)性、最值），那么這些函數(shù)性質(zhì)部分最多給1分

8、（2009上海九校聯(lián)考）如圖，已知橢圓的焦點和上頂點分別為、、，

我們稱為橢圓的特征三角形.如果兩個橢圓的         特征三角形是相似的，

則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為 橢圓的相似比.

（1）已知橢圓和，

判斷與是否相似，

如果相似則求出與的相似比，若不相似請說明理由；

（2）已知直線,與橢圓相似且半短軸長為的橢圓的方程，

在橢圓上是否存在兩點、關(guān)于直線對稱，

若存在，則求出函數(shù)的解析式.

（3）根據(jù)與橢圓相似且半短軸長為的橢圓的方程，提出你認(rèn)為有價值的  

相似橢圓之間的三種性質(zhì)（不需證明）；

解：

解：（1）橢圓與相似. ………2分

因為的特征三角形是腰長為4，底邊長為的等腰三角形，

而橢圓的特征三角形是腰長為2，底邊長為的等腰三角形，

因此兩個等腰三角形相似，且相似比為   ……… 6分

（2）橢圓的方程為：.        ………8分

假定存在，則設(shè)、所在直線為，中點為.

則.       ………10分

所以.

中點在直線上，所以有.         ………12分

.

.     ………14分

（3）橢圓的方程為：.        

兩個相似橢圓之間的性質(zhì)有：                          寫出一個給2分

①     兩個相似橢圓的面積之比為相似比的平方；

②     分別以兩個相似橢圓的頂點為頂點的四邊形也相似，相似比即為橢圓的相似比；

③     兩個相似橢圓被同一條直線所截得的線段中點重合；

過原點的直線截相似橢圓所得線段長度之比恰為橢圓的相似比.   ………20分