Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCＤ中，∠ABC=60⁰，PA=AC=a，PB=PD=,點E在PD上，且PE:ED=2:1.

（I）證明PA⊥平面ABCD；

（II）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大小；

（Ⅲ）在棱PC上是否存在一點F，使BF//平面AEC？證明你的結(jié)論.

Answer 1

（Ⅰ）證明  因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，  在△PAB中，

由PA²+AB²=2a²=PB²   知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

（Ⅱ）解  作EG//PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD.

知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，

則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角.

又PE : ED=2 : 1，所以

從而    

（Ⅲ）解法一  以A為坐標(biāo)原點，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標(biāo)分別為

所以

設(shè)點F是棱PC上的點，則

       令   得

解得      即 時，

亦即，F(xiàn)是PC的中點時，、、共面.

又  BF平面AEC，所以當(dāng)F是棱PC的中點時，BF//平面AEC.

解法二  ：當(dāng)F是棱PC的中點時，BF//平面AEC，證明如下，

證法一  取PE的中點M，連結(jié)FM，則FM//CE.  ①

由   知E是MD的中點.

連結(jié)BM、BD，設(shè)BDAC=O，則O為BD的中點.

所以  BM//OE.  ②

由①、②知，平面BFM//平面AEC.

又  BF平面BFM，所以BF//平面AEC.

證法二

因為 

         

所以  、、共面.

又 BF平面ABC，從而BF//平面AEC.

解法三：過點B作平面BFM平行于平面EAC，依次交PC、PD于點F、M，則點F為所求，再證明點F為PC的中點。