Question

已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，并對一切實(shí)數(shù)x，都滿足f(2＋x)＝f(2－x)．

(1)證明：函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對稱；

(2)若f(x)是偶函數(shù)，且x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x－1，求x∈[－4,0]時(shí)的f(x)的表達(dá)式．

Answer 1

 (1)證明：設(shè)P(x₀，y₀)是函數(shù)y＝f(x)圖像上任一點(diǎn)，則y₀＝f(x₀)，

點(diǎn)P關(guān)于直線x＝2的對稱點(diǎn)為P′(4－x₀，y₀)．

因?yàn)?i>f(4－x₀)＝f[2＋(2－x₀)]

＝f[2－(2－x₀)]＝f(x₀)＝y₀，

所以P′也在y＝f(x)的圖像上，

所以函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對稱．

(2)當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，－x∈[0,2]，

所以f(－x)＝－2x－1.

又因?yàn)?i>f(x)為偶函數(shù)，

所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1，x∈[－2,0]．

當(dāng)x∈[－4，－2]時(shí)，4＋x∈[0，－2]，

所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7.

而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，

所以f(x)＝2x＋7，x∈[－4，－2]．

所以f(x)＝