在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

(1)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；

(2)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE＝AD－BE；

(3)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．

已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，BC在x軸上，點D為BC的中點，點A在第一象限內(nèi)，AB與y軸的正半軸相交于點E，點B(－1，0)，P是AC上的一個動點(P與點A、C不重合)

(1)求點A、E的坐標；

(2)若y＝過點A、E，求拋物線的解析式．

(3)連結(jié)PB、PD，設L為△PBD的周長，當L取最小值時，求點P的坐標及L的最小值，并判斷此時點P是否在(2)中所求的拋物線上，請充分說明你的判斷理由．

如下圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，M是BC的中點，P為AB上的一個動點，(可以與A、B重合)，并作∠MPD＝90°，PD交BC(或BC的延長線)于點D．

(1)記BP的長為x，△BPM的面積為y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)是否存在這樣的點P，使得△MPD與△ABC相似？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

已知：如圖，O為□ABCD的對角線BD上一點，過點O的直線l與□ABCD的一組對邊分別相交于點E、F，且OE＝OF．

(1)試證明：點O為BD的中點．

(2)若直線l繞點O旋轉(zhuǎn)，那么在旋轉(zhuǎn)過程中，直線l與□ABCD的一組對邊(或它們的延長線)分別相交于點、，那么是否恒成立？若成立，請畫出一種情形的圖形予以證明；若不成立，請說明理由．

如圖，割線ABC與⊙O相交于B、C兩點，D為⊙O上一點，E為弧BC的中點，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG＝∠AGD，AB＝2，AD＝4，EG＝2．求證：∠A＝60°．

如圖，在等邊△ABC中，AD⊥BC于點D，一個直徑與AD相等的圓與AB相切于點E，與BC相切于點F，連接EF．

(1)判斷EF與AC的位置關系(不必說明理由)；

(2)FG是圓的一條直徑，連接AG．判斷AG與圓的位置關系，并說明理由．

　　如圖，某學習小組在探索“一點到等邊三角形三邊的距離與該等邊三角形的高的關系”時，對話如下：

　　甲同學：我們先將要探索的問題具體化，(邊說邊畫)等邊△ABC，高為h．點P該在哪兒呢？

　　乙同學：我想，點P的位置就是分類討論的關鍵．我們研究問題應該從特殊到一般．特殊的話，點P應該在等邊△ABC的一邊上，(邊說邊畫，得圖①)．只需連接AP，我就可以得到PD＋PE＝AM．

　　丙同學：結(jié)果要及時上升為規(guī)律．設點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h₁、h₂、h₃．你的發(fā)現(xiàn)就可以歸納為h＝h₁＋h₂＋h₃．而點P在等邊△ABC內(nèi)部時(如圖②)，這個結(jié)論也成立．

　　丁同學：如果點P在等邊△ABC外部呢(如圖③)？丙發(fā)現(xiàn)的“規(guī)律”好像有問題……

(1)請你證明丙同學的發(fā)現(xiàn)．

(2)丁同學發(fā)現(xiàn)了什么問題，提出你的猜想(不必證明)．

用兩個全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一個含60°角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺的60°角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB、AC重合．將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)．

(1)當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點E、F時(如圖甲)，通過觀察或測量BE、CF的長度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；

(2)當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD的延長線相交于點E、F時(如圖乙)，你在(1)中得到的結(jié)論還成立嗎？簡要說明理由．

(1)如圖1，直線MN與⊙O相交，且與⊙O的直徑AB垂直，垂足為P，過點P的直線與⊙O交于C、D兩點，直線AC交MN于點E，直線AD交MN于點F．求證：PC·PD＝PE·PF．

(2)如圖2，若直線MN與⊙O相離．(1)中的其余條件不變，那么(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

(3)在圖3中，直線MN與⊙O相離，且與⊙O的直徑AB垂直，垂足為P．①請按要求畫出圖形：畫⊙O的割線PCD(PC＜PD)，直線BC與MN交于E，直線BD與MN交于F．②能否仍能得到(1)中的結(jié)論？請說明理由．

如圖1、2，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點．直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動(點E不與點A、B重合)，另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F．

(1)如圖1，當點E在AB邊的中點位置時：

①通過測量DE，EF的長度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關系是________；

②連接點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關系是________；

③請證明你的上述兩個猜想．

(2)如圖2，當點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點N，使得NE＝BF，進而猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關系．