Question

(1)如圖1，直線MN與⊙O相交，且與⊙O的直徑AB垂直，垂足為P，過(guò)點(diǎn)P的直線與⊙O交于C、D兩點(diǎn)，直線AC交MN于點(diǎn)E，直線AD交MN于點(diǎn)F．求證：PC·PD＝PE·PF．

(2)如圖2，若直線MN與⊙O相離．(1)中的其余條件不變，那么(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)在圖3中，直線MN與⊙O相離，且與⊙O的直徑AB垂直，垂足為P．①請(qǐng)按要求畫出圖形：畫⊙O的割線PCD(PC＜PD)，直線BC與MN交于E，直線BD與MN交于F．②能否仍能得到(1)中的結(jié)論？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1) 　　證明：連接BD 　　∵AB是⊙O的直徑 　　∴∠ADB＝90° 　　∴∠ADC＋∠BDC＝90° 　　∵M(jìn)N⊥AB 　　∴∠AEP＋∠BAC＝90° 　　∵∠BAC＝∠BDC 　　∴∠ADC＝∠AEP 　　∵∠DPF＝∠EPC 　　∴△PDF∽△PEC 　　∴ 　　∴PC·PD＝PE·PF 　　(2) 　　結(jié)論仍然成立 　　證明：連接BD 　　∵AB是⊙O的直徑 　　∴∠ADB＝90° 　　∴∠ABD＋∠BAD＝90° 　　∵∠ACD＝∠PCE，∠ABD＝∠ACD 　　∴∠PCE＋∠BAD＝90° 　　∵M(jìn)N⊥AB 　　∴∠PFA＋∠BAD＝90° 　　∴∠PCE＝∠PFA 　　∵∠EPC＝∠FPD 　　∴△PCE∽△PFD 　　∴ 　　∴PC·PD＝PE·PF 　　(3) 　　畫圖，結(jié)論仍然成立 　　證明：連接AC 　　∵AB是⊙O直徑 　　∴∠ACB＝90° 　　∴∠A＋∠ABC＝90° 　　∵∠ABC＝∠EBP 　　∴∠A＋∠EBP＝90° 　　∵M(jìn)N⊥AB 　　∴∠PEB＋∠EBP＝90° 　　∴∠A＝∠PEB 　　∵∠A＝∠D，∴∠D＝∠PEB 　　∵∠DPF＝∠EPC 　　∴△DPF∽△EPC 　　∴ 　　∴PC·PD＝PE·PF