(1)如圖1,直線MN與⊙O相交,且與⊙O的直徑AB垂直,垂足為P,過(guò)點(diǎn)P的直線與⊙O交于C、D兩點(diǎn),直線AC交MN于點(diǎn)E,直線AD交MN于點(diǎn)F.求證:PC·PD=PE·PF.
(2)如圖2,若直線MN與⊙O相離.(1)中的其余條件不變,那么(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)在圖3中,直線MN與⊙O相離,且與⊙O的直徑AB垂直,垂足為P.①請(qǐng)按要求畫出圖形:畫⊙O的割線PCD(PC<PD),直線BC與MN交于E,直線BD與MN交于F.②能否仍能得到(1)中的結(jié)論?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1) 證明:連接BD ∵AB是⊙O的直徑 ∴∠ADB=90° ∴∠ADC+∠BDC=90° ∵M(jìn)N⊥AB ∴∠AEP+∠BAC=90° ∵∠BAC=∠BDC ∴∠ADC=∠AEP ∵∠DPF=∠EPC ∴△PDF∽△PEC ∴ ∴PC·PD=PE·PF (2) 結(jié)論仍然成立 證明:連接BD ∵AB是⊙O的直徑 ∴∠ADB=90° ∴∠ABD+∠BAD=90° ∵∠ACD=∠PCE,∠ABD=∠ACD ∴∠PCE+∠BAD=90° ∵M(jìn)N⊥AB ∴∠PFA+∠BAD=90° ∴∠PCE=∠PFA ∵∠EPC=∠FPD ∴△PCE∽△PFD ∴ ∴PC·PD=PE·PF (3) 畫圖,結(jié)論仍然成立 證明:連接AC ∵AB是⊙O直徑 ∴∠ACB=90° ∴∠A+∠ABC=90° ∵∠ABC=∠EBP ∴∠A+∠EBP=90° ∵M(jìn)N⊥AB ∴∠PEB+∠EBP=90° ∴∠A=∠PEB ∵∠A=∠D,∴∠D=∠PEB ∵∠DPF=∠EPC ∴△DPF∽△EPC ∴ ∴PC·PD=PE·PF |
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