組合應(yīng)用

【復(fù)習(xí)填空】

1.    試說明排列與組合定義的要點.

2.    =    =              =            .

3.    組合數(shù)的性質(zhì)①                   ；②                       .     

4.①從8名乒乓球選手中選出3名打團體賽，共 有           種不同的選法；

  ②平面內(nèi)有12個點，任何3點不在同一條直 線上，以每3點為頂點畫一個三角形，一共可畫出              個；

  ③10名學(xué)生，7人掃地，3人推車，那么不同 的分工方法有          種；

  ④有10道試題，從中選答8道，共有          種選法、又若其中6道必答，共有            不同的種選法.

【例題與練習(xí)】

    1.有13個隊參加籃球賽，比賽時先分成兩組，第一組7個隊，第二組6個隊.各組都進行單循環(huán)賽（即每隊都要與本組其他各隊比賽一場），然后由各組的前兩名共4個隊進行單循環(huán)賽決定冠、亞軍，共需要比賽多少場？

     2.某班有54位同學(xué)，正、副班長各1名，現(xiàn)選派6名同學(xué)參加某科課外小組，在下列各種情況中 ，各有多少種不同的選法？

①無任何限制條件；

②正、副班長必須入選；

③正、副班長只有一人入選；

④正、副班長都不入選；

⑤正、副班長至少有一人入選；

⑥正、副班長至多有一人入選；

小結(jié)：至多至少問題常用分類的或排除法.

  3.在產(chǎn)品檢驗中，常從產(chǎn)品中抽出一部分進行檢查.現(xiàn)有100件產(chǎn)品，其中3件次品，97件正品.要抽出5件進行檢查，根據(jù)下列各種要求，各有多少種不同的抽法？

①無任何限制條件；

②全是正品；

③只有2件正品；

④至少有1件次品；

⑤至多有2件次品；

⑥次品最多.

【課后檢測】                                   

1.9件產(chǎn)品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，現(xiàn)在要從中抽出4件

  產(chǎn)品來檢查，至少有兩件一等品的種數(shù)是（   ）

  A.        B.   C.     D.

2.從8名男生和6名女生中挑選3人，最多選2名女生的選法種數(shù)為（   ）

  A.288           B.344              C.364              D.624

3.有4名男生和5名女生，從中選出5位代表：

（1）要求男生2名，女生3名且某女生必須在內(nèi)的選法有          種；

（2）要求男生不少于2名的選法有          種.

4.從1，2，3，4，5，6，7這七個數(shù)字中 ，每次任取兩個，和為偶數(shù)的取法有     種.

5.圓上有10個點：

（1）過每2點可畫一條弦，一共可畫多少條弦？

（2）過每3點可畫一個圓內(nèi)接三角形，一共可畫多少個圓內(nèi)接三角形？

8.（1）凸五邊形有多少條對角線？

  （2）凸n邊形有多少條對角線？

9.某校高中一年級有6個班，高二年級有5個班，高三年級有8個班.各年級分別進行班與班的排球單循環(huán)賽，一共需要比賽多少場？

試題詳情

【復(fù)習(xí)填空】

1.排列與組合的共同點是：

不同點是：

2.                       =             .0！=            .

3.          =                    =          、    .    

4.   、    、      、          、        .

【例題與練習(xí)】

1.求下列各題中的n的值.

(1) ；    (2)

小結(jié)：①注意約簡，②用排列數(shù)和組合數(shù)公式將等式轉(zhuǎn)化為n的一元方程解之.

2.證明下列恒等式

（1）；  （2）

小結(jié)：組合數(shù)的性質(zhì)：①         ②

      性質(zhì)①常用來簡化運算，性質(zhì)②通常用來證明組合恒等式.

練習(xí)：

    、若，則x的值是       .

3.求證（1）；（2）

【課后檢測】

1.若，則n等于（   ）

  A.8             B.7                C.6                 D.4

2.已知m、n、xÎN且，那么m,n間的關(guān)系是(    )

  A.m=n           B.m+n=x            C.m=n或m+n=x       D.m=n或m-n=x

3. =(    )

  A.          B.              C.               D.

4.已知則m=          .

5.根據(jù)條件,求x的值.

  (1)若,則x=          ；(2)若,則x=          ；

  (3)若,則x=          ；(4)若,則x=          ；

6.利用組合數(shù)的性質(zhì)進行計算

（1）       ；（2）         ；

（3）     ；（4）          .

7.解下列方程或不等式

（1）；             *（2）

（3）

試題詳情

【復(fù)習(xí)】

1.什么叫排列？什么叫排列數(shù)？寫出排列數(shù)公式，并用階乘表示.

2.指出下列問題是否是排列問題？

（1）在北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線上，有多少種不同的飛機票？有多少種不同的飛機票價？以上兩個問題有何區(qū)別？

（2）高中部11個班進行籃球單循環(huán)比賽，需要進行多少場比賽？

（3）從全班23人中選出3人分別擔(dān)任班長、副班長、學(xué)習(xí)委員三個職務(wù)，有多少種不同的選法？選出三人參加某項勞動，有多少種不同的選法？

（4）10個人互相通信一次，共寫了多少封信？

（5）10個人互通電話一次，共多少個電話？

【組合的概念】

1.    定義：

2.    組合與排列的區(qū)別：

3.    相同的組合：

4.    組合數(shù)：

5.    組合數(shù)公式：

【應(yīng)用舉例】

1.下面的問題中屬于組合的是（在括號內(nèi)打√）

（1）集合{0，1，2，3，4}的含兩個元素的子集的個數(shù)是多少？…………………（  ）；

（2）五個足球隊進行循環(huán)賽，共要比賽多少場？………………………………   （  ）；

（3）從1~9中取2個相加，有多少個不同的和？………………………………… （  ）

如果相減，有多少個不同的差？……………………………………………  （  ）；

（4）由沒有任何三點共線的五個點可以連成多少條線段？……………………… （  ）

如果連成有向線段，共有多少條？…………………………………………   （  ）；

（5）某小組有9位同學(xué)，從中選出正副班長各一人，有多少種不同的選法？… （  ）

若從中選出2名代表參加一個會議，有多少種不同的選法？………………（  ）

2.列舉從4個不同元素a,b,c,d中取出3個元素的所有的組合和排列.

3.計算（1）  （2） （3）  （4）

4. P₂₄₃練習(xí)5（1）、（2）、（4）、（6）

【課后檢測】

1.下面幾個說法中  正確的是個數(shù)是…………………………………………………（   ）

①組合數(shù)就是一個組合中元素的個數(shù)；

②兩個組合中的元素完全相同也可能是不同的組合；

③從n個元素中抽取m(mㄑn)個元素的排列，可以看作先從n個元素中抽取m個進行組合，再對m個元素進行全排列.       

  A.0              B.1                 C.2               D.3

2.下面各式中，不正確的是……………………………………………………………（   ）

  A.0！=1          B.=n              C.          D.

3.計算的值是…………………………………………………………………（   ）

  A.64             B.80                C.13464           D.40

4.已知a,b,c,d,e五個元素，試寫出每次取出3個元素的所有組合為：

5.求值：          ；                       .

6.判斷下列各命題是排列問題還是組合問題：

(1)從五種不同的水稻良種中，選出3種：

①分別種在土質(zhì)一樣的三塊田里作試驗，有多少種方法？         是     問題.

②分別種在土質(zhì)不同的三塊田里作試驗，有多少種方法？         是     問題.

(2)從50件不同的產(chǎn)品中抽出5件來檢查，有多少種不同的抽法？     是     問題.　

(3)五個人中互送照片一張，共送了多少張照片？                    是     問題.

(4)平面內(nèi)有不共線的三點：

①過其中任意兩點作直線，一共可以作多少條直線？             是     問題.

②以其中一點為端點，并過另一點的射線有多少條？             是     問題.

(6) ①從5本不同的書中選出2本借給某人，有多少種不同的借法？   是    問題.

②若從5本不同的書中選出2本分別借給甲、乙兩人，又有多少種不同的借法？

是     問題.

7.用排列數(shù)或組合數(shù)表示下列問題，并計算出結(jié)果.

（1）從3、4、5、7四個數(shù)字中每次取出兩個.

  ①構(gòu)成多少個不同的分?jǐn)?shù)？                             答案                      

  ②可以構(gòu)成多少個不同的真分?jǐn)?shù)？                       答案                    

（2）從10名同學(xué)在任選出3名同學(xué).

  ①擔(dān)任三種不同的職務(wù)，有多少種不同的選法？           答案                    

②組成一個代表隊參加數(shù)學(xué)競賽，有多少種不同的選法？   答案                    

（3）從10本不同的書中任選3本.

 ①個同學(xué)每人一本，有多少種不同的借法？              答案                    

②借給一個同學(xué)，有多少種不同的借法？                答案                    

8. 已知點P（4，6），F(xiàn)為拋物線x²=4y的焦點，點M在拋物線上移動，則MP|+|MF|

的最小值為        ，取得最小值時點M的坐標(biāo)為            .

試題詳情

等可能性事件的概率

1、  盒中有100個鐵釘，其中90個是合格的10個是不合格的，從中任意抽取10個，其中沒有一個是不合格鐵釘?shù)母怕适牵ǎ?/p>

A、0.9    B、     C、0.1      D、

2、  某小組有成員3人，每人在一個星期中參加一天勞動，如果勞動日期可隨機安排，則3人在不同的3天參加勞動的概率為（）

A、    B、     C、      D、

3、  十個人站成一排，其中甲乙丙三人恰巧站在一起的概率為（）

A、         B、       C、        D、

4、  從數(shù)字1，2，3，4，5中任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，則這兩位數(shù)大于40的概率是（）

     A、1/5    B、2/5    C、3/5     D、4/5

5、200名青年工人，250名大學(xué)生，300名青年農(nóng)民在一起聯(lián)歡，如果任意找其中一名青年談話，這個青年是大學(xué)生的概率是           。

6、袋中有10個球，其中7個是紅球，3個是白球，從中任意取出3個，則取出的3個都是紅球的概率是        。

7、圓周上有十個等分圓周的點，從這十個點中，任取三點為頂點作一個三角形，則所作的三角形是直角三角形的概率是         。

8、6位同學(xué)參加百米賽跑初賽，賽場共有6條跑道，其中甲同學(xué)恰好被排在第一道，乙同學(xué)恰好被排在第二道的概率為              。

9、從6雙規(guī)格相同顏色不同的手套任取4只，其中恰有兩只成雙的概率是多少？

（提示：先取一種顏色，保證兩只成雙，然后再取兩種顏色，從每種顏色中各取一只。）

答案：

10、從1，2，3，4，5五個數(shù)字中，任意有放回地連續(xù)抽取三個數(shù)字，求下列事件的概率

（1）       三個數(shù)字完全不同；

（2）       三個數(shù)字中不含1和5；

（3）       三個數(shù)字中5恰好出現(xiàn)兩次

11、從0，1，2，…，9這十個數(shù)字中任取不同的三個數(shù)字，求三個數(shù)字之和等于10的概率。

12、9國乒乓球隊，內(nèi)有3個亞洲球隊，抽簽分成三組進行預(yù)賽（每組3個隊）試求：

（1）       三個組中各有一個亞洲球隊的概率； 

（2）       3個亞洲球隊集中在某一組的概率。

答案：1、D 2、C 3、A 4、B 5、1/3   6、7/24   7、1/3   8、1/30   9、16/33

     10、（1）12/25   （2）27/125    （3）12/125

     11、1/15     13、（1）9/28   （2）1/28

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試題詳情

相互獨立事件同時發(fā)生的概率

----相互獨立事件及其同時發(fā)生的概率

山西省平遙中學(xué)   常毓喜

【教學(xué)目的】

1．了解相互獨立事件的意義，會用相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率；

       2．通過對概率知識的學(xué)習(xí)，了解偶然性寓于必然性之中的辨證唯物主義思想；

【教學(xué)重點】

       用相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率；

【教學(xué)難點】

       互斥事件與相互獨立事件的區(qū)別；

【教學(xué)用具】

       投影儀、多媒體電腦等。

【教學(xué)過程】

試題詳情

相互獨立事件同時發(fā)生的概率

例1、       某種零件經(jīng)過三道工序加工才是成品，第一道工序的合格率是95%，第二道工序的合格率是98%，第三道工序的合格率是99%，假定這三道工序互不影響，那么成品的合格率是多少？（結(jié)果精確到0.01）

例2、       某人參加一次考試,若五道題中解對四題為及格，已知他解題的正確率為3/5，試求他能及格的概率？（結(jié)果保留四個有效數(shù)字）

例3、       設(shè)有兩門高射炮，每一門擊中飛機的概率都是0.6，試求：

（１）   同時射擊一發(fā)炮彈而命中飛機的概率；

（２）   若又一架敵機侵犯，要以99%的概率擊中它，問需多少門高炮？

隨堂練習(xí)：

１、              甲乙兩人下象棋，每下三盤，甲平均能勝三盤，若兩個下五盤棋，甲至少勝三盤的概率是多少？

２、              一批產(chǎn)品有30%的一級品，現(xiàn)進行重復(fù)抽樣檢查，共取出5個樣品，試求：

（１）   取出的5個樣品恰有2個一級品的概率；

（２）   取出的5個樣品中至少有2個一級品的概率。

３、              在抗菌素的生產(chǎn)中，需要培養(yǎng)優(yōu)良的菌株，若一只菌株變成優(yōu)良菌株的概率是0.05，那么從大批經(jīng)過誘變處理的菌株中，選擇多少進行培養(yǎng)，才能有95%的把握至少選到一只優(yōu)良菌株？

4、一個通訊小組有兩套相同的通訊設(shè)備，每套設(shè)備都由A、B、C三個部件組成，只要其中有一個部件出故障，這套設(shè)備就不能正常工作（即不以進行通訊）假定三個部件不出故障的概率分別是：P(A)=0.95  P(B)=0.90   P(C)=0.99求：

（１）   打開一套設(shè)備能進行通訊的概率；

（２）   同時打開兩套設(shè)備能進行通訊的概率。

例1  P=0.92   例2 P=0.3370   例3  (1)0.84 (2)6 

1.64/81  2. (1)0.3087  (2)0.4718  3.   59株  4. (1)  0.84645  (2)  0.9764

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試題詳情

4. 含有條件的排列組合應(yīng)用題：

例1：某班有男生25人，女生21人，現(xiàn)選男生3人，女生2人分別擔(dān)任正、副班長、學(xué)委、體委、宣委，問有多少種不同的選舉方法？

上題中，（1）如果由25名男生中選3人擔(dān)任班長、學(xué)委、體委，女生中選2人擔(dān)任副班長、宣委，問有多少種不同的選法？

（2）若25名男生中選3人，21名女生中選2人，分別擔(dān)任正、副班長、學(xué)委、體委、宣委，若正班長必須由男生擔(dān)任，問有多少種不同的選法？

例2：從1到9這9個數(shù)字中取5個數(shù)字排列，奇數(shù)只能排在個位、十位或百位，問這樣的無重復(fù)的五位數(shù)有多少個？

例3： 4人分住兩個房間，每個房間至少住進1人，求不同的安排方法數(shù)？

例4：圓周上有8個點，將圓周等分，那么以其中的3個點為頂點的直角三角形共有        個.

（A）12       （B）16       （C）24       （D）48

課后練習(xí)與檢測：

1.①8人站成一排，不同的站法有          種.

（A）10080    （B）13440    （C）20160    （D）40320.

②6人站成一排，甲不站頭，乙不站尾，不同的站法有        種.

（A）504      （B）480      （C）360      （D）240.

③5件不同禮品分送給4人，每人至少一件，而且禮品全部送出，那么送出禮品的方法數(shù)是           .

（A）960    （B）480     （C）240      （D）120.

④4個小組，分別從3個風(fēng)景點中選一處進行觀光旅游，不同的選擇方案的種數(shù)是         .

（A）      （B）       （C）3⁴       （D）4³

2.書架上豎排著六本數(shù)，現(xiàn)將新購的3本書上架，要求不調(diào)亂書架上原有的書，那么不同的上架方式共有多少種？

（選做）3.小李打算從10位朋友中邀請4位去旅游，這10位朋友中，有一對雙胞胎，對這兩位朋友，要么邀請，要么不邀請.求不同的邀請方案的種數(shù).

試題詳情

試題詳情

【概念復(fù)習(xí)】

1.      排列的定義：

2.      排列數(shù)公式：

【應(yīng)用舉例】

1.      判斷下列問題是否是排列問題：

①    從7名同學(xué)中選3人去完成3種不同的工作，每人完成一種，有多少種不同的選派方法…………………………………………………………………………（  ）

②    從7名同學(xué)中選3人去某地參加一個會議…………………………………（  ）

③    設(shè)m、n，則可以構(gòu)成多少個焦點在x軸的橢圓（  ）

④    從6名同學(xué)中選4人，參加4´100m接力賽，有多少種不同的參賽方案……（  ）

小結(jié)1：判斷是否是排列問題關(guān)鍵在于取出的元素是否與順序有關(guān)，若與順序有關(guān)則是排列，否則不是.

2.    用0、1、2、3、4、5、6組成滿足下列條件的數(shù)各多少個？

①    無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；

②    無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)偶數(shù)；

③    無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)且能被5整除；

④    個位數(shù)字大于十位數(shù)字的四位數(shù).

小結(jié)2：解有條件限制的排列問題思路：①正確選擇原理；②處理好特殊元素和特殊位置，先讓特殊元素戰(zhàn)位，或特殊位置選元素；③再考慮其余元素或其余位置；④數(shù)字的排列問題，0不能排在首位

3.    三個男生和四個女生安下列條件排成一排有多少種排法？

①    男生排在一起，女生排在一起有；

②    男女生間隔相排；

③    男生互不相鄰；

④    甲乙兩人必須相鄰.

小結(jié)3：解決相鄰問題通常用捆綁的辦法；不相鄰問題通常用插入的辦法.

【檢測練習(xí)】

1.用1、2、3、4、5這5個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)，其中偶數(shù)共有……（  ）

A.24                B.30             C.40               D.60

2.有9個男生，5個女生排成一排，要求女生排在一起(中間不能有男生)，不同的排

有（  ）種………………………………………………………………………………（  ）

  A.           B.           C.            D.2

3.用1，2，3，4，5，6，7這7個數(shù)字作全排列組成一個七位數(shù)，要求在其偶數(shù)位上必須是偶數(shù)，奇數(shù)位上必須是奇數(shù)，這樣的七位數(shù)共有………………………………（  ）

  A.              B.          C.               D.3

4.用0，2，4，6，9五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，共有（  ）個

  A.        B.   C.    D.

5.用數(shù)字0，1，2，3，4能組成沒有重復(fù)數(shù)字且比20000大的五位數(shù)奇數(shù)共有 (   )個

  A.36               B.30              C.72                D.18

6.有3位老師和5位學(xué)生照相，如果老師不排在最左邊且老師不相鄰，則不同的排法種數(shù)是（  ）

  A.           B.          C.              D.

7.一臺晚會有6個節(jié)目，其中有兩個小品，如果兩個小品不連續(xù)演出，共有不同的演出順序          種

8.用0，1，2，3，4，5可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？五位奇數(shù)？五位偶數(shù)？

9.某班一天六節(jié)課：語文、英語、數(shù)學(xué)、物理、體育、自習(xí).按下列要求，分別有多少種排課方法

①第一節(jié)不排體育、自習(xí)；

②數(shù)學(xué)不排下午，體育不排在第一、四節(jié).

【幾何復(fù)習(xí)題】

    求雙曲線x²-4y²=-8的焦點、頂點坐標(biāo)，取值范圍，實軸、虛軸的長，漸近線、準(zhǔn)線、共軛雙曲線的方程，離心率，兩準(zhǔn)線的距離.

試題詳情

【概念復(fù)習(xí)】

1.    什么叫排列？從n個不同元素中，任取m()個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列 .表示為        .

2.    什么叫不同的排列？元素和順序至少有一個不同.

3.    什么叫相同的排列？元素和順序都相同的排列.

4.    從n個不同元素中取出m（）個元素的排列數(shù)是                  .

5.    什么叫全排列？n個元素的全排列表示為     =                 ，這是  個連續(xù)自然數(shù)的積，n個元素的全排列叫做         ，表示為         .

6.    用全排列（或階乘）表示的排列數(shù)公式為           .

【例題與練習(xí)】

1.    計算：

①=          ②=         =           ④=      

⑤=          ⑥=          =      

2.    某段鐵路上有12個車站，共需準(zhǔn)備多少種普通客票？

3.    某信號兵用紅、黃、藍三面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任掛一面、二面或三面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？

小結(jié)：解有關(guān)排列的應(yīng)用題時，先將問題歸結(jié)為排列問題，然后確定原有元素和取出元素的個數(shù)，即n、m的值.

4.    用0到9這十個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)      個.

5.    用排列數(shù)表示下列各式：

① 10´9´8´7´6=                   ② 24´23´22´…´3´2´1=     

③ n?(n-1) ?(n-2) ?(n-3)=     

6.①從x個不同元素中任取3個的排列數(shù)為720，則x=     ；

  ②，求x的值.

小結(jié)：解有關(guān)排列數(shù)的方程關(guān)鍵在于用排列數(shù)公式將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元方程.

【課后檢測】

1.由數(shù)字1、2、3、4、5、6可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)         個；

  自然數(shù)                    個；三位數(shù)         個.

2.5個人排成一排，共有       種不同的排法.

3.從5個人中任選兩人分別擔(dān)任班長和團書記，所有選法的總數(shù)為        .

4.求下列各式中的n：

①          ②          ③

5.求證：①         ②

③

試題詳情