Question

2．如圖1所示，光滑曲面軌道置于高度為H=1.8m的平臺(tái)上，其末端切線水平．另有一長木板兩端分別擱在軌道末端點(diǎn)和水平地面間，構(gòu)成傾角為θ=37°的斜面，整個(gè)裝置固定在豎直平面內(nèi)．一個(gè)可視作質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m=0.1kg的小球，從光滑曲面上由靜止開始下滑（不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求

（1）若小球從高h(yuǎn)=0.45m處靜止下滑，則小球離開平臺(tái)時(shí)速度v₀的大小是多少？
（2）若小球下滑后正好落在木板的末端，則釋放小球的高度h以及小球離開木板的最大距離S？
（3）試推導(dǎo)小球下滑后第一次撞擊木板時(shí)的動(dòng)能與它下滑高度h的關(guān)系表達(dá)式，并在圖2中作出E_k-h圖象．

Answer 1

分析 （1）小球下滑過程中受重力和支持力，其中支持力不做功，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解；
（2）先根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式求解出平拋的初速度，然后對沿斜面下滑過程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式求解；
（3）小球落到斜面上，位移方向一定，先根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系公式得到運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再求出水平和豎直分速度后合成合速度，得到動(dòng)能的一般表達(dá)式，再作圖．

解答 解：（1）小球從曲面上滑下，只有重力做功，由機(jī)械能守恒定律：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$    ①
解得：v₀=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.45}$=3m/s
（2）小球離開平臺(tái)后做平拋運(yùn)動(dòng)，小球正好落到水平地面木板的末端，則
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$       ②
$\frac{H}{tanθ}={v}_{1}t$    ③
聯(lián)立②③式得：
t=0.6S
v₁=4m/s 
設(shè)釋小球的高度為h₁，則：
mgh₁=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
故${h}_{1}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}$=$\frac{{4}^{2}}{2×10}$=0.8m
小球的平拋運(yùn)動(dòng)過程，將其沿著平行斜面和垂直斜面方向正交分解，垂直斜面方向是初速度為v₁sin37°，加速度為gcos37°的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，故小球離開木板的最大距離：S=$\frac{{v}_{1}sin37°}{2}$•$\frac{t}{2}$=$\frac{4×0.6}{2}×\frac{0.6}{2}=0.36m$
（3）由機(jī)械能守恒定律可得：
$mgh=\frac{1}{2}{v}_{0}^{2}$
小球由離開平臺(tái)后做平拋運(yùn)動(dòng)，可看做水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，則：
y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$  ④
x=v₀t   ⑤
tan37°=$\frac{y}{x}$ ⑥
v_y=gt    ⑦
${v}_{t}^{2}={v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}$  ⑧
${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}_{t}^{2}$   ⑨
由④⑤⑥⑦⑧⑨式得：
E_k=3.25h  ⑩
考慮到當(dāng)h＞0.8m時(shí)小球不會(huì)落到斜面上，其圖象如圖所示

答：（1）若小球從高h(yuǎn)=0.45m處靜止下滑，則小球離開平臺(tái)時(shí)速度v₀的大小是3m/s；
（2）若小球下滑后正好落在木板的末端，則釋放小球的高度h為0.8m，小球離開木板的最大距離S為0.36m；
（3）小球下滑后第一次撞擊木板時(shí)的動(dòng)能與它下滑高度h的關(guān)系表達(dá)式為E_k=3.25h，在圖2中作出E_k-h圖象，如圖所示．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是將平拋運(yùn)動(dòng)沿著水平和豎直方向正交分解，根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系公式和速度時(shí)間關(guān)系列式，同時(shí)對沿斜面加速過程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式后聯(lián)立求解．