已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得弦長(zhǎng)MN的長(zhǎng)為8.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程;
(2)已知點(diǎn)B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線(xiàn)l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線(xiàn),證明直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn).
(1)
如圖,設(shè)動(dòng)圓的圓心O1(x,y),由題意知|O1A|=|O1M|,當(dāng)O1不在y軸上時(shí),過(guò)O1作O1H⊥MN交MN于H,則H為MN的中點(diǎn),
∴|O1M|2=|O1H|2+|MH|2=x2+16,
又|O1A|2=(x-4)2+y2,
∴(x-4)2+y2=x2+16,整理得y2=8x(x≠0),
當(dāng)O1在y軸上時(shí),∵|OA|=4=|MM|,
∴O1與O重合,此時(shí)點(diǎn)O1(0,0)也滿(mǎn)足y2=8x,
∴動(dòng)圓圓心O1的軌跡C方程為y2=8x.
(2)證明:由題意,設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+b(k≠0),
P(x1,y1),Q(x2,y2),
將y=kx+b代入y2=8x中,
得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,
其中Δ=-32kb+64>0.
由根與系數(shù)的關(guān)系得,x1+x2=,①
x1x2=,②
因?yàn)?i>x軸是∠PBQ的角平分線(xiàn),
所以,
即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,
(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,
2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③
將①,②代入③得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,
∴k=-b,此時(shí)Δ>0,∴直線(xiàn)l的方程為y=k(x-1),
即直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(1,0).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知圓C的方程為x2+y2+2x-2y+1=0,當(dāng)圓心C到直線(xiàn)kx+y+4=0的距離最大時(shí),k的值為( )
A. B.
C.- D.-
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖所示,在△DEM中,=(0,-8),N在y軸上,且
點(diǎn)E在x軸上移動(dòng).
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)過(guò)點(diǎn)F(0,1)作互相垂直的兩條直線(xiàn)l1、l2,l1與點(diǎn)M的軌跡交于點(diǎn)A、B,l2與點(diǎn)M的軌跡交于點(diǎn)C、Q,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知雙曲線(xiàn)-
=1(a>0,b>0)的一條漸近線(xiàn)方程是y=
x,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線(xiàn)y2=48x的準(zhǔn)線(xiàn)上.則雙曲線(xiàn)的方程為( )
A.-
=1 B.
-
=1
C.-
=1 D.
-
=1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
設(shè)雙曲線(xiàn)-
=1的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F.過(guò)點(diǎn)F平行于雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于點(diǎn)B,則△AFB的面積為_(kāi)_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知雙曲線(xiàn)E的中心為原點(diǎn),F(3,0)是E的焦點(diǎn),過(guò)F的直線(xiàn)l與E相交于A、B兩點(diǎn),且AB的中點(diǎn)為N(-12,-15),則E的方程為( )
A.-
=1 B.
-
=1
C.-
=1 D.
-
=1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知點(diǎn)F(1,0),⊙F與直線(xiàn)4x+3y+1=0相切,動(dòng)圓M與⊙F及y軸都相切.
(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)F任作直線(xiàn)l,交曲線(xiàn)C于A,B兩點(diǎn),由點(diǎn)A,B分別向⊙F各引一條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為P,Q,記α=∠PAF,β=∠QBF,求證sinα+sinβ是定值.
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