Question

已知動圓過定點A(4,0)，且在y軸上截得弦長MN的長為8.

(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；

(2)已知點B(－1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點．

Answer 1

　(1)

如圖，設(shè)動圓的圓心O₁(x，y)，由題意知|O₁A|＝|O₁M|，當O₁不在y軸上時，過O₁作O₁H⊥MN交MN于H，則H為MN的中點，

∴|O₁M|²＝|O₁H|²＋|MH|²＝x²＋16，

又|O₁A|²＝(x－4)²＋y²，

∴(x－4)²＋y²＝x²＋16，整理得y²＝8x(x≠0)，

當O₁在y軸上時，∵|OA|＝4＝|MM|，

∴O₁與O重合，此時點O₁(0,0)也滿足y²＝8x，

∴動圓圓心O₁的軌跡C方程為y²＝8x.

(2)證明：由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)，

P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

將y＝kx＋b代入y²＝8x中，

得k²x²＋(2bk－8)x＋b²＝0，

其中Δ＝－32kb＋64>0.

由根與系數(shù)的關(guān)系得，x₁＋x₂＝，①

x₁x₂＝，②

因為x軸是∠PBQ的角平分線，

所以，

即y₁(x₂＋1)＋y₂(x₁＋1)＝0，

(kx₁＋b)(x₂＋1)＋(kx₂＋b)(x₁＋1)＝0，

2kx₁x₂＋(b＋k)(x₁＋x₂)＋2b＝0，③

將①，②代入③得2kb²＋(k＋b)(8－2bk)＋2k²b＝0，

∴k＝－b，此時Δ>0，∴直線l的方程為y＝k(x－1)，

即直線l過定點(1,0)．