Question

已知點F(1,0)，⊙F與直線4x＋3y＋1＝0相切，動圓M與⊙F及y軸都相切．

(1)求點M的軌跡C的方程；

(2)過點F任作直線l，交曲線C于A，B兩點，由點A，B分別向⊙F各引一條切線，切點分別為P，Q，記α＝∠PAF，β＝∠QBF，求證sinα＋sinβ是定值．

Answer 1

 (1)⊙F的半徑為＝1，⊙F的方程為(x－1)²＋y²＝1.

由題意動圓M與⊙F及y軸都相切，分以下情況：

①動圓M與⊙F及y軸都相切，但切點不是原點的情況．

作MH⊥y軸于H，則|MF|－1＝|MH|，即|MF|＝|MH|＋1，則|MF|＝|MN|(N是過M作直線x＝－1的垂線的垂足)，則點M的軌跡是以F為焦點，x＝－1為準線的拋物線．

∴點M的軌跡C的方程為y²＝4x(x≠0)．

②動圓M與⊙F及y軸都相切且切于原點的情況．

此時點M的軌跡C的方程為y＝0(x≠0,1)．

(2)由于直線l過點F與C交于A、B兩點，且F不盡在C上，∴l只能與y²＝4x(x≠0)交于兩點．

當l不與x軸垂直時，直線l的方程為y＝k(x－1)，

當l與x軸垂直時，也可得sinα＋sinβ＝1.

綜上，有sinα＋sinβ＝1.