Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²e^x+lnt-a，若對任意的t∈[1，e]，f（x）在區(qū)間[-1，1]總存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [1，e]
• B． $（1+\frac{1}{e}，e]$
• C． （1，e]
• D． $[1+\frac{1}{e}，e]$

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，再根據(jù)存在唯一的x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）=-lnt+a在t∈[1，e]上恒成立，得到$\frac{1}{e}$≤f（x₀）≤e，即$\frac{1}{e}$≤-lnt+a≤e，得到關(guān)于a的不等式組，解得即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²e^x+lnt-a的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2xe^x+x²e^x =xe^x（x+2），x∈[-1，1]，
令f′（x）=0，則x=0，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即0＜x≤1，當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即-1≤x＜0，
∴f（x）在（-1，0）單調(diào)遞減，在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（0）=0，f（-1）=$\frac{1}{e}$，f（1）=e，
∴f（x）_max=f（1）=e，
∵存在唯一的x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）=-lnt+a在t∈[1，e]上恒成立，
∴$\frac{1}{e}$≤f（x₀）≤e，
∴$\frac{1}{e}$≤-lnt+a≤e，
∵-lnt+a在t∈[1，e]上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{；-1+a＞\frac{1}{e}}\\{a≤e}\end{array}\right.$，
解得1+$\frac{1}{e}$＜a≤e，
故選：B

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)函數(shù)的最值問題，以及參數(shù)的取值范圍，考查了存在性和恒成立的問題，屬于中檔題．