Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
12.如圖,在邊長是2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為AB,A1C的中點.
(Ⅰ)證明:EF∥平面ADD1A1;
(Ⅱ)求二面角A1-EC-D大小的余弦值.

分析 (Ⅰ)以D為原點,以DA,DC,DD1所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,利用向量法能證明EF∥平面ADD1A1
(Ⅱ)求出平面A1EC的法向量和平面ECD的法向量,利用向量法能求出二面角A1-EC-D大小的余弦值.

解答 (本題滿分12分)
證明:(Ⅰ)以D為原點,以DA,DC,DD1所在的直線分別為x,y,z軸,
建立空間直角坐標系,如圖所示,
則E(2,1,0),A1(2,0,2),C(0,2,0),F(xiàn)(1,1,1)…(2分)
所以EF=101,平面ADD1A1的法向量DC=020,
因為EFDC=1×0+0×2+1×0=0…(4分)
所以EF∥平面ADD1A1
因為EF?平面ADD1A1
所以EF∥平面ADD1A1.…(6分)
解:(Ⅱ)A1E=012,EC=210
設(shè)平面A1EC的法向量為n=xyz
{nA1E=0nEC=0,得{y2z=02x+y=0
令x=1,得y=2,z=1,于是n=121…(8分)
因為平面ECD的法向量為DD1=002,
cosnDD1=nDD1|n||DD1|=26×2=66…(10分)
由圖知二面角A1-EC-D大小為銳角,
所以二面角A1-EC-D大小的余弦值為66.…(12分)

點評 本題考查線面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2017屆湖南衡陽縣四中高三9月月考數(shù)學(xué)(文)試卷(解析版) 題型:解答題

(1)如果,則當時,求的解析式;

(2)已知是一次函數(shù),且滿足,求的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.已知函數(shù)f(x)=x2ex+lnt-a,若對任意的t∈[1,e],f(x)在區(qū)間[-1,1]總存在唯一的零點,則實數(shù)a的取值范圍是( �。�
A.[1,e]B.1+1ee]C.(1,e]D.[1+1ee]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,PA=233a,AD=2a.
(1)若AE⊥PD,E為垂足,求異面直線AE與CD所成角的余弦值;
(2)求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的正切值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.已知g(x)=mx+2,f(x)=x2-2x,若對?x1∈[-1,2].?x0∈[-1,2],有g(shù)(x1)=f(x0)成立,則m的取值范圍是[-1,12].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAB⊥底面ABCD,△PAB為正三角形.AB⊥AD,CD⊥AD,點E、M為線段BC、AD的中點,F(xiàn),G分別為線段PA,AE上一點,且AB=AD=2,PF=2FA.
(1)確定點G的位置,使得FG∥平面PCD;
(2)試問:直線CD上是否存在一點Q,使得平面PAB與平面PMQ所成銳二面角的大小為30°,若存在,求DQ的長;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F(xiàn)分別為BB1,B1C1的中點.
(Ⅰ)求證:直線EF∥面ACD1;
(Ⅱ)求二面角D1-AC-D的平面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

1.已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,若直線l被圓C截得的弦長最短,則m的值為-34

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知橢圓Cx2a2+y2b2=1ab0的左焦點F1(-1,0),C的離心率為e,b是3e和a的等比中項.
(1)求曲線C的方程;
(2)傾斜角為α的直線過原點O且與C交于A,B兩點,傾斜角為β的直線過F1且與C交于D,E兩點,若α+β=π,求|AB|2|DE|的值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案
关 闭