Question

已知橢圓，其中為左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)．當(dāng)直線l過(guò)橢圓C右焦點(diǎn)F2且傾斜角為時(shí)，原點(diǎn)O到直線l的距離為．又橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F2的最近距離為．

（I）求橢圓C的方程；

（II）以O(shè)P，OQ為鄰邊做平行四邊形OQNP，當(dāng)平行四邊形OQNP面積為時(shí)，求平行四邊形OQNP的對(duì)角線之積的最大值；

（III）若拋物線為焦點(diǎn)，在拋物線C2上任取一點(diǎn)S（S不是原點(diǎn)O），以O(shè)S為直徑作圓，交拋物線C2于另一點(diǎn)R，求該圓面積最小時(shí)點(diǎn)S的坐標(biāo)．

Answer 1

解析：（Ⅰ）直線的傾斜角為，，直線的方程，

，，為橢圓上任一點(diǎn)，

==≥，,

當(dāng)時(shí)，，，,

橢圓的方程 ．．………………………5分

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則，

由在橢圓上，則，而，則,

知=．

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，代入可得

，

即，

，即,

,

,

，,

化為，，

,

得到，,則，滿足,

由前知，，

設(shè)M是ON與PQ的交點(diǎn)，則

,

,

，當(dāng)且僅當(dāng)，

即時(shí)等號(hào)成立，

綜上可知的最大值為．

=2的最大值為5．………………………10分

（Ⅲ）因?yàn)橐?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/04/29/04/2015042904240327728105.files/image277.gif'>為直徑的圓與相交于點(diǎn)，所以∠ORS = 90°，即 ,

設(shè)S （，），R（，），＝（-，-），=（，）,

所以,

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/04/29/04/2015042904240327728105.files/image288.gif'>，，化簡(jiǎn)得 ,

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)即＝16，y2＝±4時(shí)等號(hào)成立．

圓的直徑|OS|=,

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/04/29/04/2015042904240327728105.files/image295.gif'>≥64，所以當(dāng)＝64即=±8時(shí)，，

所以所求圓的面積的最小時(shí)，點(diǎn)S的坐標(biāo)為（16，±8）．．