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12.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a2+c2+2ac=b2,sinA=1010
(1)求sinC的值;
(2)若a=2,求△ABC的面積.

分析 (1)利用余弦定理可得B,再利用和差公式即可得出.
(2)利用正弦定理可得c,再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出.

解答 解:(1)由a2+c2+2ac=b2,∴cosB=a2+c222ac=22
∵B∈(0,π),∴B=\frac{3π}{4}
∵sinA=\frac{\sqrt{10}}{10},A為銳角,∴cosA=\sqrt{1-si{n}^{2}A}=\frac{3\sqrt{10}}{10}
∴sinC=sin(\frac{3π}{4}+A)=\frac{\sqrt{2}}{2}cosA-\frac{\sqrt{2}}{2}sinA=\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{3\sqrt{10}}{10}-\frac{\sqrt{10}}{10})=\frac{\sqrt{5}}{5}
(2)由正弦定理得\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC},∴c=\frac{2×\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}=2\sqrt{2}
∴S△ABC=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形面積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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