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7.已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}滿足:a4=2a2,且a1,4,a4成等比數(shù)列,設(shè){an}的前n項和為Sn
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{Snn2n}的前n項和為Tn,求證:Tn<3.

分析 (Ⅰ)利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列的關(guān)系,求出數(shù)列的首項與公差,然后求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)化簡通項公式,利用錯位相減法求和求解即可.

解答 (Ⅰ)解:根據(jù)題意,等差數(shù)列{an}中,設(shè)公差為d,a4=2a2,且a1,4,a4成等比數(shù)列,a1>0,
{a1+3d=2a1+da1a1+3d=16解得a1=2,d=2,
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知a1=d=2,則Sn=2n+nn12×2=n2+n
bn=Snn2n=n+12n
Tn=221+322+423++n+12n,(*)12Tn=222+323++n2n+n+12n+1,(**)
12Tn=221+122+123++12nn+12n+1,
Tn=2+121+122++12n1n+12n=2+12112n1112n+12n=312n1n+12n3
∴Tn<3.

點評 本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列求和的方法,考查計算能力.

練習冊系列答案
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