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1.已知函數(shù)f(x)=4sinx•cos2x2+\frac{π}{4})-cos2x.
(1)將函數(shù)y=f(2x)的圖象向右平移\frac{π}{6}個單位長度得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在x∈[\frac{π}{12},\frac{π}{2}]上的值域;
(2)已知a,b,c分別為△ABC中角A,B,C的對邊,且滿足b=2,f(A)=\sqrt{2}-1,\sqrt{3}a=2bsinA,
B∈(0,\frac{π}{2}),求△ABC的面積.

分析 (1)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得f(x)=2sinx-1,由題意可求g(x)=2sin(2x-\frac{π}{3})-1,由x∈[\frac{π}{12},\frac{π}{2}],可求2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{6}\frac{2π}{3}],利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求值域.
(2)由已知及正弦定理得:\sqrt{3}sinA=2sinBsinA,可求sinB=\frac{\sqrt{3}}{2},結(jié)合范圍0<B<\frac{π}{2}可求B=\frac{π}{3},進(jìn)而可求sinA,由正弦定理得a,利用三角形面積公式即可計算得解.

解答 \begin{array}{l}解:(1)f(x)=4sinx•{cos^2}({\frac{x}{2}+\frac{π}{4}})-cos2x\\=4sinx•\frac{{1+cos({x+\frac{π}{2}})}}{2}-cos2x\begin{array}{l}{\;}{\;}…\end{array}1分\end{array}
=2sinx-2sin2x-cos2x=2sinx-1,…2分
∴函數(shù)f(2x)=2sin2x-1 的圖象向右平移\frac{π}{6}個單位得到函數(shù)
g(x)=2sin2(x-\frac{π}{6})-1=2sin(2x-\frac{π}{3})-1的圖象,…4分
∵x∈[\frac{π}{12},\frac{π}{2}],∴2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{6}\frac{2π}{3}],
當(dāng)x=\frac{π}{12}時,g(x)min=-2;當(dāng)x=\frac{5π}{12}時,g(x)max=1,所求值域為[-2,1].…6分
(2)由已知\sqrt{3}a=2bsinA及正弦定理得:\sqrt{3}sinA=2sinBsinA,…7分
∴sinB=\frac{\sqrt{3}}{2},∵0<B<\frac{π}{2},∴B=\frac{π}{3},…8分
由f(A)=\sqrt{2}-1,得sinA=\frac{\sqrt{2}}{2}.…9分
又a=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}b<b,∴A=\frac{π}{4},…10分
由正弦定理得:a=\frac{2\sqrt{6}}{3},…11分
∴S△ABC=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{6}}{3}×2×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{3+\sqrt{3}}{3}.…12分

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦函數(shù)的性質(zhì),正弦定理,三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求sinC的值;
(2)若a=2,求△ABC的面積.

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A.4034B.4032C.4D.0

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16.A,B是圓O:x2+y2=1上不同的兩點,且\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0,若存在實數(shù)λ,μ使得\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB},則點C在圓O上的充要條件是(  )
A.λ22=1B.\frac{1}{λ}+\frac{1}{μ}=1C.λ•μ=1D.λ+μ=1

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6.設(shè)拋物線C1:y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點F1,焦點為F2.以F1,F(xiàn)2為焦點,離心率為\frac{{\sqrt{2}}}{2}的橢圓記為C2
(Ⅰ)求橢圓C2的方程;
(Ⅱ)設(shè)N(0,-2),過點P(1,2)作直線l,交橢圓C2于異于N的A、B兩點.
(�。┤糁本€NA、NB的斜率分別為k1、k2,證明:k1+k2為定值.
(ⅱ)以B為圓心,以BF2為半徑作⊙B,是否存在定⊙M,使得⊙B與⊙M恒相切?若存在,求出⊙M的方程,若不存在,請說明理由.

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2.已知x(3x-2)4=a0x+a1x2+a2x3+a3x4+a4x5,則a0+2a1+3a2+4a3+5a4=( �。�
A.-257B.13C.1855D.-1855

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19.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需要了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷量y(單位:)和利潤z(單位:千元)的影響,對近8年的宣傳費xi(i=1,2,…,8)和年銷售量yi數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

\overline{x}\overline{y}\overline{w} \sum_{i=1}^{n}(xi-\overline{x}2\sum_{i=1}^{n}(wi-\overline{w}2\sum_{i=1}^{n}(xi-\overline{x})(yi-\overline{y}\sum_{i=1}^{n}(wi-\overline{w})(yi-\overline{y}
46.65636.8289.81.61469108.8
表中wi=\sqrt{{x}_{i}},\overline{w}=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8}wi
(1)根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx,y=c+d\sqrt{x}哪一個更適合作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型(給出判斷即可,不必說明理由);
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;
(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x,根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題;
①當(dāng)年宣傳費x=90時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少?
②當(dāng)年宣傳費x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大?
附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為:
\widehat{β}=\frac{\sum_{i=1}^{n}({μ}_{i}-\overline{μ})({v}_{i}-\overline{v})}{\sum_{i=1}^{n}({μ}_{i}-\overline{μ})^{2}},\widehat{a}=\overline{v}-\widehat{β}\overline{μ}

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20.銳角△ABC中,D為BC的中點,滿足∠BAD+∠C=90°,則角B,C的大小關(guān)系為B=C.(填“B<C”或“B=C”或B>C)

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