Question

已知曲線(xiàn)C：(5－m)x²＋(m－2)y²＝8(m∈R)．

(1) 若曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；

(2) 設(shè)m＝4，曲線(xiàn)C與y軸的交點(diǎn)為A，B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方)，直線(xiàn)y＝kx＋4與曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線(xiàn)y＝1與直線(xiàn)BM交于點(diǎn)G.求證：A，G，N三點(diǎn)共線(xiàn)．

Answer 1

解：(1) 曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，當(dāng)且僅當(dāng))

解得＜m＜5，所以m的取值范圍是.(4分)

(2) 當(dāng)m＝4時(shí)，曲線(xiàn)C的方程為x²＋2y²＝8，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(0，2)，(0，－2)．(5分)

由得(1＋2k²)x²＋16kx＋24＝0.(6分)

因?yàn)橹本�(xiàn)與曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)，所以Δ＝(16k)²－4(1＋2k²)×24＞0，即k²＞.(7分)

設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，則y₁＝kx₁＋4，y₂＝kx₂＋4，

x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.(8分)

直線(xiàn)BM的方程為y＋2＝，

點(diǎn)G的坐標(biāo)為

因?yàn)橹本�(xiàn)AN和直線(xiàn)AG的斜率分別為

所以k_AN－k_AG＝＝0.

即k_AN＝k_AG.(13分)

故A，G，N三點(diǎn)共線(xiàn)．