Question

已知橢圓M的對稱軸為坐標軸，焦點是（0，

2

），（0，-

2

），又點A（1，

2

）在橢圓M上．
（1）求橢圓M的方程；
（2）已知直線l的斜率為

2

，若直線l與橢圓M交于B、C兩點，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）可設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．由題意可得：

c= 2 = a2-b2 2 a2 + 1 b2 =1

，解出即可；
（II）設(shè)直線BC的方程為y=

2

x+m，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．代入橢圓方程并化簡得4x2+2

2

mx+m2-4=0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）可設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．
由題意可得：

c= 2 = a2-b2 2 a2 + 1 b2 =1

，
解得a²=4．
故所求橢圓方程為

y2

4

+

x2

2

=1．
（Ⅱ）設(shè)直線BC的方程為y=

2

x+m，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
代入橢圓方程并化簡得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△＞0，可得m²＜8 ①．
∴x₁+x₂=-

2

2

m，x1x2=

m2-4

4

，
故|BC|=

3

|x₁-x₂|=

3 16-2m2

2

．
又點A到BC的距離為d=

|m|

3

，
∴S_△ABC=

1

2

|BC|•d=

m2(16-2m2)

4

≤

1

4 2

•

2m2+(16-2m2)

2

=

2

，
當且僅當2m²=16-2m²，即m=±2時取等號（滿足①式）
∴△ABC的面積的最大值為

2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．