Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+1 在x=-

2

3

與x=1時都取得極值，
（1）求a，b的值．
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，方程的解為x=-

2

3

，x=1；代入求a，b值；
（2）由函數(shù)圖象及極值可直接得到單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+1，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∴3×（-

2

3

）²-2×

2

3

a+b=0，且3+2a+b=0．
解得，a=-

1

2

，b=-2．
（2）∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+1 在x=-

2

3

與x=1時都取得極值，
且由三次函數(shù)的圖象特征可知，
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-

2

3

），（1，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為（-

2

3

，1）．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．