Question

在四面體ABCD中，△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形．
（Ⅰ）求證：BC⊥AD；
（Ⅱ）若點D到平面ABC的距離等于3，求二面角A-BC-D的正弦值；
（Ⅲ）設二面角A-BC-D的大小為θ，猜想θ為何值時，四面體A-BCD的體積最大．（不要求證明）

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取BC中點O，連結(jié)AO，DO，由已知得AO⊥BC，DO⊥BC，從而BC⊥平面AOD，由此能證明BC⊥AD．
（2）由（1）知∠AOD為二面角A-BC-D的平面角，由此能求出二面角A-BC-D的正弦值．
（3）由已知條件推導出當 θ=90°時，四面體ABCD的體積最大．

解答： （Ⅰ）證明：取BC中點O，連結(jié)AO，DO，
∵△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形，
∴AO⊥BC，DO⊥BC，
∴BC⊥平面AOD，
∵AD?平面AOD，∴BC⊥AD．
（2）解：由（1）知∠AOD為二面角A-BC-D的平面角，
設∠AOD=θ，則過點D作DE⊥AD，垂足為E．
∵BC⊥平面ADO，且BC?平面ABC，
∴平面ADO⊥平面ABC．又平面ADO∩平面ABC=AO，
∴DE⊥平面ABC．
∴線段DE的長為點D到平面ABC的距離，即DE=3．
又DO=

3

2

BD=2

3

，
在Rt△DEO中，sinθ=

DE

DO

=

3

2

，
故二面角A-BC-D的正弦值為

3

2

．
（3）當 θ=90°時，四面體ABCD的體積最大．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查四面體的體積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．