Question

5．已知關于x的方程|2x³-8x|+mx=4有且僅有2個實數根，則實數m的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• C． （-2，2）
• D． （-1，1）

Answer 1

分析 作出y=|2x³-8x|和y=4-mx的函數圖象，根據圖象交點個數判斷直線y=4-mx的斜率的范圍，從而得出m的范圍．

解答 解：由|2x³-8x|+mx=4得|2x³-8x|=4-mx，
作出y=|2x³-8x|和y=4-mx的函數圖象，

當0＜x＜2時，y=|2x³-8x|=-2x³+8x，
若直線y=4-mx經過點（-2，0），則-m=2，即m=-2，
若直線y=4-mx與y=-2x³+8x相切，切點坐標為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=4-m{x}_{0}}\\{{y}_{0}=-2{{x}_{0}}^{3}+8{x}_{0}}\\{-6{{x}_{0}}^{2}+8=-m}\end{array}\right.$，解得x₀=1，y₀=6，m=-2，
由圖象的對稱性可知，若直線y=4-mx與y=|2x³-8x|的圖象有2個交點，
∴-m＞2或-m＜-2，
即m＜-2或m＞2．
故選：A．

點評 本題考查了方程根與函數圖象的關系，屬于中檔題．