Question

20．口袋中有6個大小相同的小球，其中1個小球標有數字“3”，2個小球標有數字“2”，3個小球標有數字“1”，每次從中任取一個小球，取后放回，連續(xù)抽取兩次．
（I）求兩次取出的小球所標數字不同的概率；
（II）記兩次取出的小球所標數字之和為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別記第i次抽取的小球標有數字“1”、“2”、“3”為A_i，B_i，C_i，i=1，2，則P（A_i）=$\frac{1}{2}$，P（B_i）=$\frac{1}{3}$，P（C_i）=$\frac{1}{6}$，先求出取出的兩個小球所標數字相同的概率，由此能求出取出的兩個小球所標的數字不同的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值為2，3，4，5，6，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）分別記第i次抽取的小球標有數字“1”、“2”、“3”為A_i，B_i，C_i，i=1，2，
則P（A_i）=$\frac{1}{2}$，P（B_i）=$\frac{1}{3}$，P（C_i）=$\frac{1}{6}$，
取出的兩個小球所標數字相同的概率為：
P（A₁•A₂+B₁•B₂+C₁•C₂）=（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{6}$）²=$\frac{7}{18}$，
取出的兩個小球所標的數字不同的概率：
P=1-P（A₁•A₂+B₁•B₂+C₁•C₂）=$\frac{11}{18}$．
（Ⅱ）ξ的可能取值為2，3，4，5，6，
P（ξ=2）=P（A₁•A₂）=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=3）=P（A₁•B₂+B₁•A₂）=2×$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$，
P（ξ=4）=P（A₁•C₂+B₁•B₂+C₁•A₂）=$2×\frac{1}{2}×\frac{1}{6}+（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{5}{18}$，
P（ξ=5）=P（B₁•C₂+C₁•B₂）=$2×\frac{1}{3}×\frac{1}{6}=\frac{1}{9}$，
P（ξ=6）=P（C₁•C₂）=（$\frac{1}{6}$）²=$\frac{1}{36}$，
ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5	6
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{36}$

Eξ=$2×\frac{1}{4}+3×\frac{1}{3}+4×\frac{5}{18}+5×\frac{1}{9}+6×\frac{1}{36}$=$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的方差的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．