Question

13．函數(shù)y=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx在區(qū)間$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上的值域是[0，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 化函數(shù)y為正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)y在區(qū)間$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上的值域．

解答 解：函數(shù)y=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx
=$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x∈$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$時，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
sin（2x+$\frac{2π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴函數(shù)y在區(qū)間$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上的值域是[0，$\frac{3}{2}$]．
故答案為：[0，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角恒等變換的問題，是基礎(chǔ)題．