Question

16．設(shè)平面向量$\overrightarrow a$=（ m，1），$\overrightarrow b$=（ 2，n ），其中 m，n∈{-2，-1，1，2}．
（I）記“使得$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$成立的（ m，n ）”為事件A，求事件A發(fā)生的概率；
（II）記“使得$\overrightarrow a$∥（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$）成立的（ m，n ）”為事件B，求事件B發(fā)生的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出基本事件總數(shù)N=4×4=16，由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，得m=-2n，由此利用列舉法求出事件A包含的基本事件（m，n）的個數(shù)，由此能求出事件A發(fā)生的概率P（A）．
（Ⅱ）先求出$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$=（m-4，1-2n），再由$\overrightarrow a$∥（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$），求出mn=2，利用列舉法求出事件B包含的基本事件（m，n）的個數(shù)，由此能求出事件B發(fā)生的概率P（B）．

解答 解：（Ⅰ）∵m，n∈{-2，-1，1，2}，
∴基本事件總數(shù)N=4×4=16，
記“使得$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$成立的（ m，n ）”為事件A，
由平面向量$\overrightarrow a$=（ m，1），$\overrightarrow b$=（ 2，n ），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2m+n=0，即m=-2n，
∴事件A包含的基本事件（m，n）有：（-2，1）（2，-1），共2個，
∴事件A發(fā)生的概率P（A）=$\frac{2}{16}$=$\frac{1}{8}$．
（Ⅱ）記“使得$\overrightarrow a$∥（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$）成立的（ m，n ）”為事件B，
由$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$=（m-4，1-2n），$\overrightarrow a$∥（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$），
得$\frac{m}{m-4}=\frac{1}{1-2n}$，即mn=2，
∴事件B包含的基本事件（m，n）有：（-2，-1），（-1，-2），（1，2），（2，1），共4個，
∴事件B發(fā)生的概率P（B）=$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$．

點評 本題考查概率的求法，涉及到平面向量坐標(biāo)運算法則、向量平行的性質(zhì)的應(yīng)用、等可能事件概率計算公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．