Question

17．已知點(diǎn)P（3，-4）是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$漸近線上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)是左，右兩個(gè)焦點(diǎn)，若$\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{FP}=0$，則雙曲線方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{18}-\frac{y^2}{32}=1$
• B． $\frac{x^2}{32}-\frac{y^2}{18}=1$
• C． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$
• D． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

Answer 1

分析 由點(diǎn)在漸近線可得4a=3b，由數(shù)量積為0可得c²=25，結(jié)合a²+b²=c²=25，解之可得答案．

解答 解：由題意可得點(diǎn)P（3，-4）是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$漸近線上的一點(diǎn)，可得4a=3b，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，故E（-c，0），F(xiàn)（c，0），$\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{FP}=0$，
故c²=25，
又a²+b²=c²=25，結(jié)合4a=3b可解得a=3，b=4，
故雙曲線的方程為：$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題．