分析 (Ⅰ)由題意,設(shè)橢圓的方程,根據(jù)橢圓的離心率公式及c=2,即可求得a和b的值,即可求得橢圓方程;
(Ⅱ)(�。┓诸�(lèi),當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),求得A和B點(diǎn)坐標(biāo),即可求得k1+k2,當(dāng)直線l斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式,即可求得k1+k2=4;
(ⅱ)定圓⊙M的方程為:(x-2)2+y2=32,求得圓心,由拋物線的性質(zhì),可求得|BF1|=4√2−|BF2|兩圓相內(nèi)切.
解答 解:(Ⅰ)由已知F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0).------------------------------------------------------1分
令橢圓C2的方程為x2a2+y2b2=1,(a>b>0),焦距為2c,(c>0)---------------2分
則{c=2ca=√22a2=b2+c2,解之得{c=2b=2a=2√2,-------------------------------3分
所以,橢圓C2的方程為x28+y24=1.------------------------------------------------------4分
(Ⅱ)(�。┳C明:當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),l:x=1,
由{x=1x28+y24=1得{x=1y=−√142或{x=1y=√142,----------------------------------5分
不妨取A(1,√142),則B(1,−√142),
此時(shí),k1=√142+2,k2=−√142+2,
所以k1+k2=4.--------------------------------------------------------6分
當(dāng)直線l斜率存在時(shí),令l:y-2=k(x-1),-----------------------------------------------------------------7分
由{y−2=k(x−1)x28+y24=1得(1+2k2)x2+(8k-4k2)x+2k2-8k=0,--------------------------------------------------------------------8分
由△=(8k-4k2)2-4(1+2k2)•(2k2-8k)>0得k>0,或k<−47.
令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k2−8k1+2k2,x1x2=2k2−8k1+2k2,------------------------------------------------9分
所以,k1=y1+2x1,k2=y2+2x2,
所以,k1+k2=y1+2x1+y2+2x2=x2y1+2x2+x1y2+2x1x1x2=x2•[k(x1−1)+2]+x1•[k(x2−1)+2]+2(x1+x2)x1x2,
=2k+(−k+4)•(x1+x2)x1x2
=2k+(−k+4)•4k2−8k1+2k22k2−8k1+2k2
=2k+(−k+4)•(4k2−8k)2k2−8k=2k-(2k-4)=4,----------------------------------------------------------------------------------------------10分
綜上所述,k1+k2=4.----------------------------------------------------------11分
(ⅱ)存在定⊙M,使得⊙B與⊙M恒相切,⊙M的方程為(x-2)2+y2=32,圓心為左焦點(diǎn)F1,
由橢圓的定義知|BF1|+|BF2|=2a=4√2,-------------------------------------------------12分
所以,|BF1|=4√2−|BF2|,-------------------------------------------------------------13分
所以兩圓相切.---------------------------------------------------------------------------------14分.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查弦長(zhǎng)的求法,解題時(shí)要注意根的判別式、韋達(dá)定理、圓的性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用,屬于難題.
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A. | 0 | B. | \frac{1}{3} | C. | 1 | D. | 2 |
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