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6.設(shè)拋物線C1:y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)F1,焦點(diǎn)為F2.以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn),離心率為22的橢圓記為C2
(Ⅰ)求橢圓C2的方程;
(Ⅱ)設(shè)N(0,-2),過(guò)點(diǎn)P(1,2)作直線l,交橢圓C2于異于N的A、B兩點(diǎn).
(�。┤糁本€NA、NB的斜率分別為k1、k2,證明:k1+k2為定值.
(ⅱ)以B為圓心,以BF2為半徑作⊙B,是否存在定⊙M,使得⊙B與⊙M恒相切?若存在,求出⊙M的方程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (Ⅰ)由題意,設(shè)橢圓的方程,根據(jù)橢圓的離心率公式及c=2,即可求得a和b的值,即可求得橢圓方程;
(Ⅱ)(�。┓诸�(lèi),當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),求得A和B點(diǎn)坐標(biāo),即可求得k1+k2,當(dāng)直線l斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式,即可求得k1+k2=4;
(ⅱ)定圓⊙M的方程為:(x-2)2+y2=32,求得圓心,由拋物線的性質(zhì),可求得|BF1|=42|BF2|兩圓相內(nèi)切.

解答 解:(Ⅰ)由已知F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0).------------------------------------------------------1分
令橢圓C2的方程為x2a2+y2b2=1ab0,焦距為2c,(c>0)---------------2分
{c=2ca=22a2=b2+c2,解之得{c=2b=2a=22,-------------------------------3分
所以,橢圓C2的方程為x28+y24=1.------------------------------------------------------4分
(Ⅱ)(�。┳C明:當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),l:x=1,
{x=1x28+y24=1{x=1y=142{x=1y=142,----------------------------------5分
不妨取A1142,則B1142
此時(shí),k1=142+2k2=142+2,
所以k1+k2=4.--------------------------------------------------------6分
當(dāng)直線l斜率存在時(shí),令l:y-2=k(x-1),-----------------------------------------------------------------7分
{y2=kx1x28+y24=1得(1+2k2)x2+(8k-4k2)x+2k2-8k=0,--------------------------------------------------------------------8分
由△=(8k-4k22-4(1+2k2)•(2k2-8k)>0得k>0,或k47
令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k28k1+2k2,x1x2=2k28k1+2k2,------------------------------------------------9分
所以,k1=y1+2x1k2=y2+2x2,
所以,k1+k2=y1+2x1+y2+2x2=x2y1+2x2+x1y2+2x1x1x2=x2[kx11+2]+x1[kx21+2]+2x1+x2x1x2,
=2k+k+4x1+x2x1x2
=2k+k+44k28k1+2k22k28k1+2k2
=2k+k+44k28k2k28k=2k-(2k-4)=4,----------------------------------------------------------------------------------------------10分
綜上所述,k1+k2=4.----------------------------------------------------------11分
(ⅱ)存在定⊙M,使得⊙B與⊙M恒相切,⊙M的方程為(x-2)2+y2=32,圓心為左焦點(diǎn)F1,
由橢圓的定義知|BF1|+|BF2|=2a=42,-------------------------------------------------12分
所以,|BF1|=42|BF2|,-------------------------------------------------------------13分
所以兩圓相切.---------------------------------------------------------------------------------14分.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查弦長(zhǎng)的求法,解題時(shí)要注意根的判別式、韋達(dá)定理、圓的性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用,屬于難題.

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