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14.如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形,平面PAB⊥平面ABCD,PB=PC,∠ABC=45°.
(Ⅰ)求證:AB⊥PC;
(Ⅱ)若三角形PAB是邊長為2的等邊三角形,求三棱錐P-ABC外接球的表面積.

分析 (Ⅰ)作PO⊥AB于O,連接OC,推導出PO⊥面ABCD.再求出OC⊥AB,從而AB⊥面POC,由此能證明AB⊥PC.
(Ⅱ)在線段PO上取點E,EA=EB=EC,E是外接球的球心,設三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,則EC2=EO2+OC2,由此能求出三棱錐P-ABC外接球的表面積.

解答 證明:(Ⅰ)作PO⊥AB于O…①,連接OC,
∵平面PAB⊥平面ABCD,且面PAB∩面ABCD=AB,
∴PO⊥面ABCD.
∵PB=PC,∴△POB≌△POC,∴OB=OC,
又∵∠ABC=45°,∴OC⊥AB…②
又PO∩CO=O,由①②,得AB⊥面POC,
又PC?面POC,∴AB⊥PC.…(6分)
解:(Ⅱ)∵三角形PAB是邊長為2的等邊三角形,
PO=3OA=OB=OC=1
∵PO⊥面ABCD,PO>OA=OB=OC,線段PO上取點E,
∴EA=EB=EC,E是外接球的球心,
設三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,
EO=3REC=R,EC2=EO2+OC2,
R2=12+3R2R=233,
∴三棱錐P-ABC外接球的表面積S=4π{R^2}=\frac{16π}{3}.…(12分)

點評 本題考查線線垂直的證明,考查幾何體的表面積的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系,考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力,考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想是,是中檔題.

練習冊系列答案
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