Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足

1

log3a1

+

2

log3a2

+…+

n

log3an

=n（n≥1）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{

n

an

}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n≥2時，

1

log3a1

+

2

log3a2

+…+

n-1

log3an-1

=n-1．與

1

log3a1

+

2

log3a2

+…+

n

log3an

=n相減，能求出an=3n．
（2）由

n

an

=n•(

1

3

)n，利用錯位相減法能求出數(shù)列{

n

an

}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時，

1

log3a1

=1，解得a₁=3，
當(dāng)n≥2時，

1

log3a1

+

2

log3a2

+…+

n-1

log3an-1

=n-1．
與

1

log3a1

+

2

log3a2

+…+

n

log3an

=n相減，得

n

log3an

=1，
∴an=3n，
綜上，an=3n．（n∈N^*）．
（2）

n

an

=n•(

1

3

)n，
∴Sn=

1

3

+2•(

1

3

)2+…+(n-1)•(

1

3

)n-1+n•(

1

3

)n，①

1

3

Sn=(

1

3

)2+2•(

1

3

)3+…+(n-1)•(

1

3

)n+n•(

1

3

)n+1，②
①-②，得：

2

3

Sn=

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-1+(

1

3

)n-n(

1

3

)n+1
=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-n(

1

3

)n+1
=

1

2

[1-(

1

3

)n]-n•(

1

3

)n+1，
∴S_n=

3

4

[1-(

1

3

)n]-

3

2

n(

1

3

)n+1=

3-(2n+3)•( 1 3 )n

4

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．