Question

函數(shù)g（x）=ax³+bx²+cx及其g′（x）的圖象分別如圖1、2所示．若f（x）=g（x）-mg′（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)g（x）和g′（x）的圖象可知x=1是g（x）的極大值點(diǎn)，所以g（1）=

5

6

．并且1，2是方程g′（x）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，這樣便能求出a，b，c，從而求出f（x）．根據(jù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，便有f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，從而求出m的取值范圍．

解答： 解：由g（x）和g′（x）的圖象可知x=1是g（x）的極大值點(diǎn)，1，2是g′（x）=0的二根；
又g′（x）=3ax²+2bx+c，且g （1）=

5

6

；
所以，有：

1+2=- 2b 3a 1×2= c 3a a+b+c= 5 6

，解得：

a= 1 3 b=- 3 2 c=2

．
∴g （x）=

1

3

x3-

3

2

x2+2x；
∴f （x）=

1

3

x3-(

3

2

+m)x2+(2+3m)x-2m．
則f′（x）=x²-（3+2m）x+3m+2≥0在[2，+∞）上恒成立．
∵△=（3+2m）²-4（3m+2）=4m²+1＞0；
∴

3+2m 2 ≤2 f′(2)≥0

；
解得：m≤0，所以m的取值范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)圖象和導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系：能看出有無(wú)極值，是極大值還是極小值；導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)和原函數(shù)的單調(diào)性保持一致；導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系．