Question

已知f（x）=（

x-1

x+1

）²，（x≥1），g（x）是f（x）的反函數(shù)，記h（x）=

1

g(x)

+

x

+2，求：h（x）的解析式及其最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：欲求原函數(shù)f（x）的反函數(shù)，即從原函數(shù)式中反解出x，后再進行x，y互換，即得反函數(shù)的解析式．再求出h（x）的解析式，再根據基本不等式求得最小值．

解答： 解：f（x）=（

x-1

x+1

）²，（x≥1），
∴y∈[0，1）
令x=y，則x=（

y-1

y+1

）²，
∴

y-1

y+1

=

x

∴g（x）=

1+ x

1- x

，x∈[0，1），
∵h（x）=

1

g(x)

+

x

+2，
∴h（x）=

1- x

1+ x

+

x

+2=(1+

x

)+

2

1+ x

≥2

2

，當且僅當x=3-2

2

時取等號，
故h（x）的最小值為3-2

2

點評：本題考查反函數(shù)的求法以及基本不等式的性質，要會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)，掌握互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系．