Question

設(shè)拋物線C₁：y²=4x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)F₁，焦點(diǎn)為F₂，橢圓C₂以F₁和F₂為焦點(diǎn)，離心率e=

1

2

．設(shè)P是C₁與C₂的一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求橢圓C₂的方程．
（2）直線l過(guò)C₂的右焦點(diǎn)F₂，交C₁于A₁，A₂兩點(diǎn)，且|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長(zhǎng)，求l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由條件，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）是橢圓C₂的兩焦點(diǎn)，離心率為

1

2

，由此能求出C₂的方程和其右準(zhǔn)線方程．
（2）△PF₁F₂的周長(zhǎng)|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=6．設(shè)l方程為y=k（x-1），與C₁方程聯(lián)立可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由此利用弦長(zhǎng)公式能求出l的方程．

解答： 解：（1）由條件，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）是橢圓C₂的兩焦點(diǎn)，
故半焦距為1，再由離心率為

1

2

知半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，
從而C₂的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，其右準(zhǔn)線方程為x=4．
（2）由（1）可知△PF₁F₂的周長(zhǎng)|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=6．
又C₁：y²=4x而F₂（1，0）．
若l垂直于x軸，由題意知|A₁A₂|=4，矛盾，故l不垂直于x軸，
可設(shè)其方程為y=k（x-1），與C₁方程聯(lián)立可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
從而|A1A2|=

k2+1

•|x₁-x₂|=

k2+1

•

(2k2+4)2-4k4

k2

=

4(k2+1)

k2

，
∵|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長(zhǎng)，∴|A₁A₂|=6，
解得k²=2，即k=±

2

，
故l的方程為y=

2

(x-1)或y=-

2

（x-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．