Question

已知函數(shù)f(x)＝ax²＋1(a>0)，g(x)＝x³＋bx.

(1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，求a，b的值；

(2)當(dāng)a＝3，b＝－9時(shí)，若函數(shù)f(x)＋g(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28，求k的取值范圍．

Answer 1

解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x²＋b.

因?yàn)榍€y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，

即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，

解得a＝3，b＝3.  

(2)記h(x)＝f(x)＋g(x)，當(dāng)a＝3，b＝－9時(shí)，

h(x)＝x³＋3x²－9x＋1，

h′(x)＝3x²＋6x－9.  

令h′(x)＝0，得x₁＝－3，x₂＝1.  

h(x)與h′(x)在(－∞，2]上的變化情況如下：

 

x	(－∞，－3)	－3	(－3,1)	1	(1,2)	2
h′(x)	＋	0	－	0	＋
h(x)		28		－4		3