Question

已知函數(shù)f（x）=4sin（

π

2

+

x

2

）cos（

x

2

+

π

6

）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和圖象對稱中心的坐標；
（Ⅱ）在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，如果c=1，f（C）=

3

+1，且△ABC的面積為

3

2

，求sinA+sinB+sinC的值．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的余弦函數(shù),兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公式、二倍角公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為2sin(x+

2π

3

)+

3

，由此可得f（x）的周期及其圖象的對稱中心；
（Ⅱ）根據(jù)f（C）=

3

+1代入解析式求出角C的值，再由三角形的面積求出ab的值，由余弦定理得b²+a²=7，進而求出a+b的值，再根據(jù)定弦定理求出比值，變形后求出式子的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，f（x）=4sin（

π

2

+

x

2

）cos（

x

2

+

π

6

）
=4cos

x

2

（

3

2

cos

x

2

-

1

2

sin

x

2

）
=2

3

cos2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=

3

(1+cosx)-sinx
=2sin(x+

2π

3

)+

3

，
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為T=2π，
由x+

2π

3

=kπ得，x=kπ-

2π

3

（k∈Z），
則函數(shù)的圖象對稱中心的坐標是（kπ-

2π

3

，

3

）（k∈Z）；
（Ⅱ）因為f（C）=

3

+1，
所以2sin(C+

2π

3

)+

3

=

3

+1，化簡得sin(C+

2π

3

)=

1

2

，
因為0＜C＜π，所以

2π

3

＜C+

2π

3

＜

5π

3

，
所以C+

2π

3

=

5π

6

，解得C=

π

6

，
又△ABC的面積為

3

2

，所以

1

2

absin

π

6

=

3

2

，
解得ab=2

3

，①
由余弦定理得，c2=b2+a2-2abcos

π

6

=1，
得b²+a²=7，②，
由①②得，a+b=

(a+b2)

=

a2+2ab+b2

=

7+2 3

=2+

3

，
由正弦定理得，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

1

1 2

=2，
則

sinA+sinB+sinC

a+b+c

=

1

2

，
解得，sinA+sinB+sinC=

1

2

（a+b+c）=

3+ 3

2

．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式、二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及求法，正弦函數(shù)的對稱中心，余弦定理、正弦定理的靈活應(yīng)用，屬于中檔題．