Question

如圖，棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別是線段AD₁和B₁C上的動點，且滿足D₁M=CN，則下列命題正確的是

 

．（把所有正確命題的序號都填上）
①存在M，N的某一位置，使AB∥MN；
②△BMN的面積為定值；
③當(dāng)D₁M＞0時，直線MB₁與AN是異面直線；
④無論M，N運動到任一位置，均有BC⊥MN；
⑤M，N在運動過程中，線段MN在平面ADA₁D₁內(nèi)的射影所形成區(qū)域的面積為2．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：①中M，N分別是AD₁與B₁C的中點時，AB∥MN，可知①正確；
②中M在A處時，△BMN的面積為2，M在AD₁的中點、N在B₁C的中點時，△BMN的面積為

2

，可知②△BMN的面積不為定值；
③中當(dāng)D₁M＞0時，利用反證法，假設(shè)直線MB₁與AN是共面直線，則AM與B₁N共面，導(dǎo)出矛盾，從而判斷③；
④中，依題意知BC垂直于MN在面ABCD內(nèi)的射影，由線面垂直的性質(zhì)可判斷④；
⑤中N移動時在平面BCB₁C₁的射影為A₁D，M點移動時在平面BCB₁C₁的射影為AD₁，設(shè)A₁D∩AD₁=O，
則線段MN在平面平面ADA₁D₁內(nèi)的射影所形成區(qū)域為△A₁OA和△D₁OD，求得其面積可判斷⑤．

解答： ①中M，N分別是AD₁與B₁C的中點時，AB∥MN，①正確；
②中M在A處時，△BMN的面積為2，M在AD₁的中點、N在B₁C的中點時，△BMN的面積為

2

，故②錯誤；
③中當(dāng)D₁M＞0時，設(shè)直線MB₁與AN是共面直線，則AM與B₁N共面，矛盾，故假設(shè)不成立，直線MB₁與AN是異面直線，③正確；
④中，依題意知MN在面ABCD內(nèi)的射影為PQ，由D₁M=CN知，DP=CQ，故BC⊥PQ，由線面垂直的性質(zhì)可知BC⊥MN，故④正確；

⑤中N移動時在平面BCB₁C₁的射影為A₁D，M點移動時在平面BCB₁C₁的射影為AD₁，設(shè)A₁D∩AD₁=O，
則線段MN在平面平面ADA₁D₁內(nèi)的射影所形成區(qū)域為△A₁OA和△D₁OD，故面積為2，即⑤正確．
綜上所述，命題正確的是：①③④⑤．
故答案為：①③④⑤．

點評：本題考查空間線面位置關(guān)系，考查空間想象能力與作圖、運算能力，屬于難題．