Question

4．小威遇到這樣一個問題：如圖1，在Rt△ABC中，AC=BC，CD⊥AB，垂足為點D，AE⊥GC，BF⊥GC，垂足為F，E，連接DE．
小威通過探究發(fā)現(xiàn)，如圖2，連接DF，證明△ADE≌△CDF，使問題得到解決．

參考小威思考問題的方法，解答下列問題：
（1）根據(jù)閱讀材料解答AE與CF的數(shù)量關(guān)系，DE與EF的數(shù)量關(guān)系．
（2）如圖3，如果把上題中條件“AC=BC”改為“AC=kBC”（k為常數(shù)，k＞0），其他條件不變，求$\frac{EF}{DE}$的值．（用含k的式子表示）

Answer 1

分析 （1）如圖1中，結(jié)論：AE=CF．只要證明△ACE≌△CBF即可．結(jié)論：EF=$\sqrt{2}$DE，由△DCF≌△DAE，推出DE=DF，∠CDF=∠ADE，推出∠EDF=∠ADC=90°，
推出△EDF是等腰直角三角形，即可解決問題．
（2）如圖3中，結(jié)論：$\frac{EF}{DE}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{k}$．想辦法證明△ADE∽△CDF，推出$\frac{DE}{DF}$=$\frac{AE}{CF}$=k，∠ADE=∠CDF，∠EDF=∠ADC=90°，設(shè)DF=m，則DE=km，EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•m，由此即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，結(jié)論：AE=CF．理由如下，

∵AC=BC，∠ACB=∠BFC=∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，∠BCF+∠CBF=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠CBF}\\{∠AEC=∠BFC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBF，
∴AE=CF．

如圖2中，結(jié)論：EF=$\sqrt{2}$DE，理由如下，
連接DF．

∵AE⊥CE，BF⊥CE，CD⊥AB，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∴∠FCD+∠CGD=90°，∠DAE+∠AGE=90°，
∵∠AGE=∠CGD，
∴∠EAD=∠FCD，
∵CA=CB，
∴AD=DB，
∴CD=AD=DB，
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DA}\\{∠DCF=∠DAE}\\{CF=AE}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△DAE，
∴DE=DF，∠CDF=∠ADE，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$DE．

（2）如圖3中，結(jié)論：$\frac{EF}{DE}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{k}$．理由如下，
連接DF．

∵∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ACD=∠CBD，∵∠ADC=∠CDB，
∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AC}{BC}$=k，
由（1）可知，∠ACE=∠CBF，∵∠AEC=∠BFC=90°，
∴△ACE∽△CBF，
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{AC}{BC}$=k，
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$=k，∵∠DAE=∠DCF，
∴△ADE∽△CDF，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{AE}{CF}$=k，∠ADE=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
設(shè)DF=m，則DE=km，EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•m，
∴$\frac{EF}{DE}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}•m}{km}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{k}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．