19.如圖1,正方形ABCD和正方形QMNP,M是正方形ABCD的對(duì)稱中心,MN交AB于F,QM交AD于E.

(1)猜想:ME與MF的數(shù)量關(guān)系ME=MF;
(2)如圖2,若將原題中的“正方形”改為“矩形”且AB:BC=1:2,其他條件不變,探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(3)如圖3,若將原題中的“正方形”改為平行四邊形,且∠M=∠B,AB:BC=m,其他條件不變,求出ME:MF的值.(直接寫出答案)

分析 (1)過點(diǎn)M作MH⊥AB于H,MG⊥AD于G,連接AM,首先證明M是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),然后證明△MHF≌△MGE,利用全等三角形的性質(zhì)得到ME=MF;
(2)過點(diǎn)M作ME⊥AB于E,MG⊥AD于G,利用矩形ABCD性質(zhì)和已知條件證明∠HMF=∠GME,∠MGE=∠MHF,得出△MGE∽△MHF,然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求解;
(3)平行四邊形ABCD和平行四邊形QMNP中,∠M=∠B,AB=mBC,由于M是平行四邊形ABCD的對(duì)稱中心,MN交AB于F,AD交QM于E,則ME=mMF.證明方法和(1)(2)類似.

解答 解:(1)ME=MF.
理由:如圖1,過點(diǎn)M作MH⊥AB于H,MG⊥AD于G,連接AM,則∠MHF=∠MGE=90°,
∵M(jìn)是正方形ABCD的對(duì)稱中心,
∴AM平分∠BAD,
∴MH=MG,
在正方形ABCD中,∠DAB=90°,而∠MHA=∠MGA=90°,
∴∠EMF=∠HMG=90°,
∴∠FMH=∠EMG,
在△MHF和△MGE中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠FMH=∠EMG}\\{MH=MG}\\{∠MHF=∠MGE}\end{array}\right.$
∴△MHF≌△MGE(ASA),
∴MF=ME,
故答案為:MF=ME;

(2)MF=2ME.
理由:如圖2,過點(diǎn)M作MG⊥AB于G,MH⊥AD于H,則∠MHE=∠MGF=90°,
在矩形ABCD中,∠A=90°,
∴在四邊形GMHA中,∠GMH=90°,
又∵∠EMF=90°,
∴∠HME=∠GMF,
又∵∠MGF=∠MHE=90°,
∴△MGF∽△MHE,
∴$\frac{ME}{MF}$=$\frac{MH}{MG}$,
又∵M(jìn)是矩形ABCD的對(duì)稱中心,
∴MG=$\frac{1}{2}$BC,MH=$\frac{1}{2}$AB,
∴$\frac{MH}{MG}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$,
∴MF=2ME;

(3)ME:MF=m.
理由:如圖3,過點(diǎn)M作MG⊥AB于G,MH⊥AD于H,則∠MHE=∠MGF=90°,
在平行四邊形ABCD中,∠A+∠B=180°,而∠EMF=∠B,
∴∠A+∠EMF=180°,
又∵在四邊形AGMH中,∠A+∠HMG=180°,
∴∠EMF=∠GMF,
又∵∠MGF=∠MHE=90°,
∴△MGF∽△MHE,
∴$\frac{ME}{MF}$=$\frac{MH}{MG}$,
又∵M(jìn)是矩形ABCD的對(duì)稱中心,
∴$\frac{MH}{MG}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{mBC}{BC}$=m,
∴ME:MF=m.

點(diǎn)評(píng) 此題屬于四邊形綜合題,主要考查了正方形、矩形、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形、相似三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用,解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形,運(yùn)用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行推導(dǎo).

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現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式,
如化簡(jiǎn)代數(shù)式|x+1|+|x-2|時(shí),
可令x+1=0和x-2=0,分別求得x=-1,x=2(稱-1,2分別為|x+1|與|x-2|的零點(diǎn)值).
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),零點(diǎn)值x=-1和,x=2可將全體實(shí)數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況:
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從而化簡(jiǎn)代數(shù)式|x+1|+|x-2|可分以下3種情況:
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(2)當(dāng)-1≤x<2時(shí),原式=x+1-(x-2)=3;
(3)當(dāng)x≥2時(shí),原式=x+1+x-2=2x-1.
綜上討論,原式=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+1(x<-1)}\\{3(-1≤x<2)}\\{2x-1(x≥2)}\end{array}\right.$
通過以上閱讀,請(qǐng)你解決以下問題:化簡(jiǎn)代數(shù)式|x+2|+|x-4|.

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