Question

8．如圖，一只杯子的上下底面分別是直徑為5cm和7.5cm的圓，母線AB的長為15cm．
（1）求杯子的側面積．
（2）從點B出發(fā)，繞著杯子兩圈畫一條裝飾線，終點為A，求裝飾線的最短長度．

Answer 1

分析 （1）將紙杯的側面展開，設∠O的度數(shù)是n，則根據(jù)弧長的計算公式，可得7.5π=$\frac{nπ•OA}{180}$，5π=$\frac{nπ•（OA-15）}{180}$，解得OA=45cm，n=30°，最后求得紙杯的側面展開圖的面積；
（2）將兩個紙杯的側面展開圖拼接在一起，根據(jù)兩點之間線段最短，并運用勾股定理，求得裝飾線的最短長度即可．

解答 解：（1）紙杯的側面展開如圖所示：

延長AB，A'B'交于點O，
設∠O的度數(shù)是n，則
7.5π=$\frac{nπ•OA}{180}$，5π=$\frac{nπ•（OA-15）}{180}$，
解得：OA=45cm，n=30°，
∴BO=45-15=30cm，
∴紙杯的側面展開圖的面積為：$\frac{30π•4{5}^{2}}{360}$-$\frac{30π•3{0}^{2}}{360}$=$\frac{375}{4}π$（cm²）；

（2）如圖所示，將兩個紙杯的側面展開圖拼接在一起，連接BD，則BD的長度是裝飾線的最短長度．

過B作BE⊥OD于E，則Rt△BOE中，OB=30，∠BOE=60°，
∴OE=15cm，BE=15$\sqrt{3}$cm，
∴DE=45-15=30（cm），
∴在Rt△BDE中，BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（15\sqrt{3}）^{2}+3{0}^{2}}$=15$\sqrt{7}$（cm）．
故裝飾線的最短長度為15$\sqrt{7}$cm．

點評 本題考查了平面展開-最短路線問題，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質等知識點的綜合運用，畫出平面展開圖，作輔助線構造扇形是解答此題的關鍵．