Question

3．∠ACB=∠ADC=90°，AC=3，CD=2．當(dāng)AB的長(zhǎng)為$\frac{9\sqrt{5}}{5}$或$\frac{9}{2}$時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似．

Answer 1

分析 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．在Rt△ABC和Rt△ACD，直角邊的對(duì)應(yīng)需分情況討論．

解答 解：∵AC=3，CD=2，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$．要使這兩個(gè)直角三角形相似，有兩種情況：
（1）當(dāng)Rt△ABC∽R(shí)t△ACD時(shí)，有$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AB}{AC}$，即$\frac{3}{\sqrt{5}}$=$\frac{AB}{3}$，
則AB=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$；
（2）當(dāng)Rt△ACB∽R(shí)t△CDA時(shí)，有 $\frac{AC}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$，即：$\frac{3}{2}$=$\frac{AB}{3}$，
則AB=$\frac{9}{2}$．
故當(dāng)AB的長(zhǎng)為$\frac{9\sqrt{5}}{5}$或$\frac{9}{2}$時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似．
故答案是：$\frac{9\sqrt{5}}{5}$或$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定．識(shí)別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計(jì)算對(duì)應(yīng)角的度數(shù)、對(duì)應(yīng)邊的比．