Question

18．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，D是⊙O上一點(diǎn)，連結(jié)BD、CD，AC、BD交于點(diǎn)E．
（1）請找出圖中的相似三角形，并加以證明（不添加其他線條的情況下）；
（2）若∠D=45°，BC=4，求⊙O的面積．

Answer 1

分析 （1）容易發(fā)現(xiàn)：△ABE與△DCE中，有兩個(gè)角對應(yīng)相等，根據(jù)相似三角形的判定可得到它們相似；
（2）求⊙O的面積，關(guān)鍵是求⊙O的半徑，為此作⊙O的直徑BF，連接CF，得出△BCF是等腰直角三角形，由BC=2，求出BF的長，從而求出⊙O的面積．

解答 解：（1）結(jié)論：△ABE∽△DCE，
證明：在△ABE和△DCE中，
∵∠A=∠D，∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE．

（2）作⊙O的直徑BF，連接CF，
∴∠F=∠D=45°，∠BCF=90°．
∴△BCF是等腰直角三角形．
∵FC=BC=4，
∴BF=4$\sqrt{2}$．
∴OB=2$\sqrt{2}$．
∴S_⊙O=OB²•π=8π．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定，圓周角定理．需要掌握同弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角為直角．