Question

【題目】數(shù)學(xué)課上，王老師布置如下任務(wù)：

如圖1，直線(xiàn)MN外一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)MN的平行線(xiàn)．

(1)小路的作法如下：

① 在MN上任取一點(diǎn)B，作射線(xiàn)BA；

② 以B為圓心任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交BA和MN于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)D位于BA的左側(cè)），再以A為圓心，相同的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧EH，交BA于點(diǎn)E（點(diǎn)E位于點(diǎn)A上方）；

③以E為圓心CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交弧EH于點(diǎn)F（F點(diǎn)位于BA左側(cè)）

④作直線(xiàn)AF

⑤直線(xiàn)AF即為所求作平行線(xiàn)．

請(qǐng)你根據(jù)小路同學(xué)的作圖方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡）；并完成以下推理，注明其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)依據(jù)：

(2)請(qǐng)你參考小路的作法，利用圖2再設(shè)計(jì)一種“過(guò)點(diǎn)A作MN的平行線(xiàn)”的尺規(guī)作圖過(guò)程（保留作圖痕跡），并說(shuō)明其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)依據(jù)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)作圖過(guò)程，利用SSS易證得，從而得到同位角相等，兩直線(xiàn)平行；

（2）依照小路的作法，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行”，作出平行線(xiàn)，同樣可以用SSS易證得，從而得到內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行的結(jié)論.

（1）證明：如圖，根據(jù)作圖過(guò)程，知：，

連接EF和AD，

在和中，，

∴(SSS)，

∴(同位角相等，兩直線(xiàn)平行)

故答案為： ； 同位角相等，兩直線(xiàn)平行

（2）作圖方法：

① 在MN上任取一點(diǎn)B，作射線(xiàn)BA(為銳角)；

② 以B為圓心任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交BA和BN于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)D位于BA的右側(cè)），再以A為圓心，相同的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧EH，交BA于點(diǎn)E（點(diǎn)E位于點(diǎn)A下方）；

③以E為圓心CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交弧EH于點(diǎn)F（F點(diǎn)位于BA左側(cè)）

④作直線(xiàn)AF

⑤直線(xiàn)AF即為所求作平行線(xiàn)．

證明：如圖，根據(jù)作圖過(guò)程，知：，

連接EF和AD，

在和中，，

∴(SSS)，

∴(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行)