Question

3．計算下列各式：
（x-1）（x+1）=x²-1；
（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
…
（1）根據(jù)以上規(guī)律，直接寫出下式的結(jié)果：（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁷-1；
（2）你能否由此歸納出一般性的結(jié)論（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1）=xⁿ-1（其中n為正整數(shù)）；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論寫出1+2+2²+2³+2⁴+…+2³⁵的結(jié)果．

Answer 1

分析 利用多項式乘以多項式法則計算各式即可；
（1）根據(jù)上述規(guī)律寫出結(jié)果即可；
（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；
（3）利用得出的規(guī)律計算即可得到結(jié)果．

解答 解：（x-1）（x+1）=x²-1；
（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，
故答案為：x²-1；x³-1；x⁴-1；
（1）（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁷-1；
（2）（x-1）（x^n-1+x^n-2+x^n-3+…+x+1）=xⁿ-1；
故答案為：（1）x⁷-1；（2）xⁿ-1；
（3）1+2+2²+2³+2⁴+…+2³⁵
=（2-1）（2³⁵+2³⁴+2³³+…+2+1）
=2³⁶-1．

點評 此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．