例6．數(shù)列中，且滿足   

⑴求數(shù)列的通項公式；

⑵設(shè)，求；

⑶設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

解：（1）由題意，，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，

由題意得，.

（2）若，

時，

（3）

若對任意成立，即對任意成立，

的最小值是，的最大整數(shù)值是7。

即存在最大整數(shù)使對任意，均有

說明：本例復(fù)習數(shù)列通項，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問題。.

五、強化訓練

（一）用基本量方法解題

例5．在直角坐標平面上有一點列，對一切正整數(shù)，點位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標構(gòu)成以為首項，­為公差的等差數(shù)列。

⑴求點的坐標；

⑵設(shè)拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：。

⑶設(shè)，等差數(shù)列的任一項，其中是中的最大數(shù)，，求的通項公式。

解：（1）

（2）的對稱軸垂直于軸，且頂點為.設(shè)的方程為：

把代入上式，得，的方程為：。

，

=

（3），

T中最大數(shù).

設(shè)公差為，則，由此得

說明：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大（1）、（2）兩問運用幾何知識算出，解決（3）的關(guān)鍵在于算出及求數(shù)列的公差。

例4、（04年重慶）設(shè)a₁=1,a₂=,a_n+2=a_n+1-a_n  (n=1,2,---),令b_n=a_n+1-a_n  (n=1,2---)求數(shù)列{b_n}的通項公式，(2)求數(shù)列{na_n}的前n項的和S_n。

      解：（I）因

故{b_n}是公比為的等比數(shù)列，且 

       （II）由

       注意到可得

       記數(shù)列的前n項和為T_n，則

例3．（04年浙江）設(shè)數(shù)列{a_n}的前項的和S_n=（a_n-1） (n₊),（1）求a_1;a_2;   (2)求證數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列。

解: (Ⅰ)由,得 ∴ 又,即,得.

    (Ⅱ)當n>1時,

    得所以是首項,公比為的等比數(shù)列.

2．解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應(yīng)用．

說明：1．本例主要復(fù)習用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項與前項和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。

綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2．

由①和②得，數(shù)列是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=3?2．

當n≥2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當n=1時，S=a=1也適合上式．

例2．已知數(shù)列中，是其前項和，并且，

⑴設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

⑵設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

⑶求數(shù)列的通項公式及前項和。

分析：由于和{c}中的項都和{a}中的項有關(guān)，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑．

解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強恒等變形能力的訓練)

a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　　 ①

已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　 ②

例1．已知數(shù)列{a}是公差d≠0的等差數(shù)列，其前n項和為S．

(2)過點Q(1，a)，Q(2，a)作直線12，設(shè)l與l的夾角為θ，

證明：(1)因為等差數(shù)列{a}的公差d≠0，所以

Kpp是常數(shù)(k=2，3，…，n)．

(2)直線l的方程為y-a=d(x-1)，直線l的斜率為d．