在三棱錐P－ABC中，△PAC和△PBC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，AB＝2，O是AB的中點(diǎn)．

(1)在棱PA上求一點(diǎn)M，使得OM∥平面PBC；

(2)求證：平面PAB⊥平面ABC.

 


解法一：(1)當(dāng)M為棱PA的中點(diǎn)時(shí)，OM∥平面PBC.

證明如下：

∵M，O分別為PA，AB的中點(diǎn)，

∴OM∥PB.

又PB⊂平面PBC，OM⊄平面PBC，

∴OM∥平面PBC.

(2)連接OC，OP.

∵AC＝CB＝，O為AB的中點(diǎn)，AB＝2，

∴OC⊥AB，OC＝1.

同理，PO⊥AB，PO＝1.

又PC＝，∴PC2＝OC2＋PO2＝2，

∴∠POC＝90°，∴PO⊥OC.

∵AB∩OC＝O，

∴PO⊥平面ABC.

∵PO⊂平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABC.

解法二：設(shè)＝a，＝b，＝c，則由條件知|a|＝|b|＝|c|＝，a·c＝b·c＝1，

在△PAB中，PA＝PB＝，AB＝2，∴PA⊥PB，∴a·b＝0.

(1)設(shè)＝λa，則＝－＝λa－(a＋b)＝(λ－)a－b，

∵OM∥平面PBC，

∴存在實(shí)數(shù)s，k，使＝sb＋kc，

∴sb＋kc＝(λ－)a－b，

由平面向量基本定理知，λ＝，s＝－，k＝0，

∴M為PA的中點(diǎn)．

(2) ＝(a＋b)，

∵·＝(a＋b)·(c－a)

＝(a·c＋b·c－|a|2－a·b)＝0，

·＝(a＋b)·(b－a)＝(|b|2－|a|2)＝0，

∴

∴是平面ABC的法向量，

又PO⊂平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABC.                                 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


設(shè)平面區(qū)域D是由雙曲線y2－＝1的兩條漸近線和拋物線y2＝－8x的準(zhǔn)線所圍成的三角形(含邊界與內(nèi)部)．若點(diǎn)(x，y)∈D，則x＋y的最小值為(　　)

A．－1　　 　                                               B．0　　　　

C．1　　　　                                                 D．3

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在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點(diǎn)，且AD＝PD＝2MA.

(1)求證：平面EFG⊥平面PDC；

(2)求三棱錐P－MAB與四棱錐P－ABCD的體積之比．

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平面α經(jīng)過三點(diǎn)A(－1,0,1)、B(1,1,2)，C(2，－1,0)，則下列向量中與平面α的法向量不垂直的是(　　)

A.                                          B．(6，－2，－2)

C．(4,2,2)                                                     D．(－1,1,4)

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．如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中點(diǎn)．

(1)求證：AF∥平面BCE；

(2)求證：平面BCE⊥平面CDE.

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在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)C1到平面B1EF的距離等于(　　)

A.                                                             B.

C.                                                         D.

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如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)O、E分別是A1C1、AA1的中點(diǎn)，AO⊥平面A1B1C1.已知∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2.

(1)證明：OE∥平面AB1C1；

(2)求異面直線AB1與A1C所成的角；

(3)求A1C1與平面AA1B1所成角的正弦值．

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如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1.在三角形內(nèi)挖去半圓(圓心O在邊AC上，半圓分別與BC、AB相切于點(diǎn)C、M，與AC交于點(diǎn)N)，則圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為______．

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空間中一條線段AB的三視圖中，俯視圖是長(zhǎng)度為1的線段，側(cè)視圖是長(zhǎng)度為2的線段，則線段AB的長(zhǎng)度的取值范圍是(　　)

A．(0,2]                                                        B．[2，]

C．[2,3]                                                        D．[2，]

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