Question

3．如圖所示，足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ水平放置，兩導(dǎo)軌間距離為L(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面上，金屬棒ab垂直于導(dǎo)軌放置，導(dǎo)軌的M、P兩端連接一阻值為R的電阻，其他電阻不計(jì)，金屬棒通過(guò)水平細(xì)線跨過(guò)滑輪與物體A相連，已知ab棒與物體A質(zhì)量均為m，重力加速度為g，不計(jì)一切摩擦，現(xiàn)將ab棒由靜止釋放，測(cè)得ab棒沿導(dǎo)軌滑行過(guò)程中，流過(guò)電阻R的總電量為q，
（1）證明：導(dǎo)體棒滑行過(guò)程中任一時(shí)刻克服安培力做功的功率總等于電路中的電功率；
（2）求ab棒滑行過(guò)程中的最大速度；
（3）求ab棒滑行達(dá)到最大速度的過(guò)程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和安培力公式得到克服安培力做功．由電功率公式得到電功率表達(dá)式，即可得證．
（2）金屬棒先向下做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和安培力公式及平衡條件，求解最大速度的大小．
（3）在物體A下落過(guò)程中，物體A的重力勢(shì)能減少量轉(zhuǎn)化為內(nèi)能、ab棒和物體A的動(dòng)能，根據(jù)q求出ab棒運(yùn)動(dòng)的距離，由能量守恒定律求解R中產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）設(shè)ab棒速度為v時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E，回路中的電流為I，則
  E=BLv
  I=$\frac{E}{R}$
ab棒所受的安培力大小 F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
克服安培力做功的功率 P_克=Fv=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$
電路中的電功率 P_電=$\frac{{E}^{2}}{R}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$
故克服安培力做功的功率總等于電路中的電功率．得證．
（2）當(dāng)ab棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大，則有：mg=F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
得 v=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（3）設(shè)ab棒滑行達(dá)到最大速度的過(guò)程中通過(guò)的距離為x，則
 q=$\overline{I}t$=$\frac{\overline{E}}{R}t$=$\frac{BL\overline{v}t}{R}$
又 x=$\overline{v}$t
解得 x=$\frac{qR}{BL}$
根據(jù)能量守恒定律得：mgx=$\frac{1}{2}•2m{v}^{2}$+Q
解得焦耳熱 Q=$\frac{mgqR}{BL}$-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$
答：
（1）證明見(jiàn)上；
（2）ab棒滑行過(guò)程中的最大速度是$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）ab棒滑行達(dá)到最大速度的過(guò)程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱是$\frac{mgqR}{BL}$-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要對(duì)棒受力正確分析，掌握速度最大的條件，懂得根據(jù)電流的平均值，由電量可求得棒的距離．能熟練應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、動(dòng)能定理等正確解題．