Question

12．如圖所示，在坐標系xoy中，x軸上方存在勻強磁場，方向垂直于xoy向里；在x軸下方存在勻強電場，電場強度為E，電場方向與xoy平面平行，且與x軸成θ=45°夾角．一質(zhì)量為m，電荷量為q（q＞0）的粒子從y軸上P₁（0，-$\sqrt{2}$d）點靜止釋放．一段時間后粒子進入磁場，且從y軸上的P₂（圖中未畫出）垂直于y軸飛入第二象限．不計粒子重力．求：

（1）粒子第一次進入磁場時的速度大小；
（2）磁場的磁感應強度B及粒子第一次在磁場中運動的時間；
（3）粒子第三次到達x軸的位置．

Answer 1

分析 （1）粒子只在電場中沿電場線運動，由動能定理可求得粒子進入磁場的速度；
（2）根據(jù)題意可明確粒子的運動軌跡，再根據(jù)洛侖茲力充當向心力可求得磁感應強度；根據(jù)所對應的圓心角可求得時間；
（3）粒子第二次進入電場時，做類平拋運動，由運動的合成和分解可求得粒子回到x軸時的坐標．

解答 解：（1）粒子由靜止開始沿電場線運動，由題意可知，粒子運動的位移為x=$\sqrt{2（\sqrt{2}d）^{2}}$=2d；
則由動能定理可知：Eq2d=$\frac{1}{2}$mv²；
解得：v=2$\sqrt{\frac{Eqd}{m}}$；
（2）粒子在磁場中運動的軌跡如圖所示；因粒子進入磁場時的速度方向與x軸成45度角，由幾何關系可知，
R=$\sqrt{2（\sqrt{2}d）^{2}}$=2d；
則由Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$可知：
B=$\frac{mv}{qR}$=$\sqrt{\frac{Em}{qd}}$；
粒子第一次在磁場中轉過的圓心角為：270°；故時間t=$\frac{270}{360}×\frac{2πR}{v}$=$\frac{3π}{2}×\sqrt{\frac{md}{Eq}}$；
（3）粒子第二次經(jīng)過x軸時，速度方向與水平方向夾角為45°；垂直于電場線進入電場區(qū)域；
則粒子在電場中做類平拋運動，由類平拋運動的規(guī)律可知：
x=vt
y=$\frac{1}{2}×\frac{Eq}{m}{t}^{2}$
$\frac{x}{y}$=tan45°=1；
解得：t=$\frac{2mv}{Eq}$
則x=$\frac{2m{v}^{2}}{Eq}$；
由幾何關系可知：第三次到達x軸上的位移為：$\sqrt{2}$x=$\frac{2\sqrt{2}m{v}^{2}}{Eq}$=8$\sqrt{2}$d
故粒子在O點右側，距離為8$\sqrt{2}$d-$\sqrt{2}$d=7$\sqrt{2}$d；
故第三次到達x軸的坐標為：（7$\sqrt{2}$d，0）
答：（1）粒子第一次進入磁場時的速度大小為2$\sqrt{\frac{Eqd}{m}}$；
（2）磁場的磁感應強度B為$\sqrt{\frac{Em}{qd}}$；粒子第一次在磁場中運動的時間為$\frac{3π}{2}×\sqrt{\frac{md}{Eq}}$；
（3）粒子第三次到達x軸的位置為（7$\sqrt{2}$d，0）

點評 本題考查帶電粒子在電場和磁場中的運動，要注意帶電粒子在電場中做類平拋運動，在磁場中做圓周運動；關鍵在明確帶電粒子在磁場中的圓心和半徑的確定，要注意幾何關系的正確應用．