Question

7．如圖所示，水平傳送帶AB的長度L=3.75m，皮帶輪的半徑R=0.1m．現(xiàn)有一小物體（視為質(zhì)點(diǎn)）以水平速度v₀從A點(diǎn)滑上傳送帶，物塊與傳送帶間動摩擦因數(shù)為μ=0.2，傳送帶上表面距地面的高度h=5m，g取10m/s²，試討論下列問題：
（1）若皮帶靜止，要使小物體滑到B端后做平拋運(yùn)動．則小物體滑上A點(diǎn)的初速度v₀至少為多少？
（2）若皮帶輪以角速度ω=40rad/s順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動，小物體滑上A點(diǎn)的初速度v₀=3m/s，求小物體由A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)的時(shí)間及落地點(diǎn)到B的水平位移s；
（3）若皮帶輪以角速度ω=40rad/s順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動，求v₀滿足什么條件時(shí)，小物塊均落到地面上的同一點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出在B點(diǎn)恰好做平拋運(yùn)動時(shí)的速度，結(jié)合牛頓第二定律和速度位移公式求出小物塊滑上A點(diǎn)的最小初速度．
（2）根據(jù)小物塊和傳送帶的速度大小關(guān)系確定小物塊的運(yùn)動規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求出小物塊的運(yùn)動時(shí)間，根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律求出水平位移．
（3）抓住小物塊一直做勻加速運(yùn)動或一直做勻減速運(yùn)動，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動的速度位移公式求出v₀滿足的條件．

解答 解：（1）若皮帶靜止，小物體在皮帶上滑動的加速度為a，則：μmg=ma，
要使小物塊在B點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動，則小物體在B點(diǎn)開始時(shí)對皮帶壓力為0，即：$mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$     
又 ${{v}_{0}}^{2}-{{v}_{B}}^{2}=2aL$     
代入數(shù)據(jù)解得：v₀=4m/s．
（2）若皮帶輪以角速度ω=40rad/s順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動，皮帶的速度v=Rω=4m/s＞v₀
小物體剛在皮帶上滑動時(shí)加速，加速度為：a=μg
加速時(shí)間  ${t}_{1}=\frac{v-{v}_{0}}{a}$
代入數(shù)據(jù)解得    t₁=0.5s
加速位移 ${x}_{1}=\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$ 
代入數(shù)據(jù)解得x₁=1.75m   
然后勻速，時(shí)間為t₂，則${t}_{2}=\frac{L-{x}_{1}}{v}$
代入數(shù)據(jù)解得t₂=0.5s  
小物體由A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)的時(shí)間 t=t₁+t₂=0.5+0.5s=1s．
平拋時(shí) h=$\frac{1}{2}g{{t}_{3}}^{2}$，s=vt₃        
代入數(shù)據(jù)解得：s=4m．
（3）v₀最大時(shí)，小物塊在皮帶一直做勻減速運(yùn)動，到B端時(shí)，物塊速度剛好為v
則 ${{v}_{max}}^{2}-{v}^{2}=2aL$    
代入數(shù)據(jù) 解得${v}_{max}=\sqrt{31}m/s$．
v₀最小時(shí)，小物塊在皮帶一直做勻加速運(yùn)動，到B端時(shí)，物塊速度剛好為v，
則${v}^{2}-{{v}_{min}}^{2}=2aL$，代入數(shù)據(jù)解得v_min=1m/s．
即1m/s$≤{v}_{0}≤\sqrt{31}m/s$時(shí)，小物塊均落在地面上的同一點(diǎn)．
答：（1）小物體滑上A點(diǎn)的初速度v₀至少為4m/s．
（2）小物體由A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)的時(shí)間為1s，落地點(diǎn)到B的水平位移為4m．
（3）1m/s$≤{v}_{0}≤\sqrt{31}m/s$時(shí)，小物塊均落在地面上的同一點(diǎn)．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵理清小物塊在傳送帶上的運(yùn)動規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式綜合求解，難度中等．